Exercício 14 Escolha um conjunto adequado para as variáveis livres e determine o valor lógico:
, com
divisível por
.
Passo 1
O enunciado dá a expressão aberta (sem quantificadores)
com a condição adicional de que
é divisível por
(em
).
As perguntas que vou responder são:
As perguntas que vou responder são:
- Qual conjunto/ universo adequado escolher para as variáveis livres
e ? - Qual o valor lógico da fórmula (isto é, para quais valores de
e ela é verdadeira)?
Informações relevantes do enunciado:
- A equação:
. - A condição:
é divisível por (isto é, ). - Não há quantificadores explícitos, portanto a expressão é um predicado em duas variáveis.
Passo 2
Escolhendo o conjunto adequado para as variáveis livres: vou tomar o universo como os inteiros
para ambas as variáveis
e
.
Por que ? Porque a noção "divisível por
" é padrão em
(divisibilidade está definida naturalmente em inteiros) e a equação
faz sentido em inteiros. O enunciado inclusive indica
, o que confirma essa escolha.
Por que
Passo 3
Vou explicar o que significa determinar o “valor lógico” aqui. A fórmula é um predicado em
, que chamo de
Um predicado aberto como esse não é, por si só, verdadeiro ou falso até especificar valores para
e
(ou quantificá‑lo). Três conceitos úteis:
- Conjunto verdade (ou conjunto de soluções): o conjunto de pares
que tornam verdadeira. - Satisfatível: existe pelo menos um par
que torna verdadeira. - Tautologia universal (no contexto de
): seria verdadeiro para todo . Aqui verificaremos se é o caso ou não.
Meu objetivo: encontrar o conjunto verdade (todas as soluções inteiras) e, com isso, classificar a fórmula (satisfatível, contraditória ou universal).
Passo 4
Resolver a condição "
divisível por
" de forma algébrica. Divisibilidade por
significa que existem inteiros
tais que
Substituo isso na equação
:
Isolando
,
Logo, para cada
obtenho um par
que satisfaz ambas as condições.
Passo 5
Descrever o conjunto de todas as soluções e dar exemplos concretos:
O conjunto verdade é
O conjunto verdade é
Alguns exemplos (pegando valores de
):
-
dá . -
dá . -
dá . -
dá . -
dá .
Portanto há infinitas soluções inteiras, uma para cada.
Passo 6
Classificação lógica da fórmula sobre o domínio
:
- A fórmula é satisfatível, porque existem (de fato, infinitos) pares
que a tornam verdadeira — por exemplo . - A fórmula NÃO é verdadeira para todo
(por exemplo, não funciona porque não é divisível por ), então não é uma tautologia universal. - Tampouco é contraditória (não é sempre falsa), pois já vimos soluções.
Resposta
Conjunto de soluções:
Valor lógico (sobre ): satisfatível (verdadeira para os pares da solução), não é verdadeira para todos os inteiros.
Valor lógico (sobre