Exercício 14 Escolha um conjunto adequado para as variáveis livres e determine o valor lógico:
x+y=10, com x divisível por 3(\mathrm{em} \mathbb{Z}).

Passo 1

O enunciado dá a expressão aberta (sem quantificadores)
(x+y=10) com a condição adicional de que x é divisível por 3 (em \mathbb{Z}).
As perguntas que vou responder são:
  • Qual conjunto/ universo adequado escolher para as variáveis livres x e y?
  • Qual o valor lógico da fórmula (isto é, para quais valores de x e y ela é verdadeira)?
Informações relevantes do enunciado:
  • A equação: (x+y=10).
  • A condição: x é divisível por 3 (isto é, 3\mid x).
  • Não há quantificadores explícitos, portanto a expressão é um predicado em duas variáveis.

Passo 2

Escolhendo o conjunto adequado para as variáveis livres: vou tomar o universo como os inteiros \mathbb{Z} para ambas as variáveis x e y.
Por que \mathbb{Z}? Porque a noção "divisível por 3" é padrão em \mathbb{Z} (divisibilidade está definida naturalmente em inteiros) e a equação x+y=10 faz sentido em inteiros. O enunciado inclusive indica (\mathrm{em}\\ \mathbb{Z}), o que confirma essa escolha.

Passo 3

Vou explicar o que significa determinar o “valor lógico” aqui. A fórmula é um predicado em (x,y), que chamo de
P(x,y)\;=\;(x+y=10)\wedge(3\mid x).
Um predicado aberto como esse não é, por si só, verdadeiro ou falso até especificar valores para x e y (ou quantificá‑lo). Três conceitos úteis:
  • Conjunto verdade (ou conjunto de soluções): o conjunto de pares (x,y)\in\mathbb{Z}^2 que tornam P(x,y) verdadeira.
  • Satisfatível: existe pelo menos um par (x,y) que torna P(x,y) verdadeira.
  • Tautologia universal (no contexto de \mathbb{Z}): seria verdadeiro para todo (x,y)\in\mathbb{Z}^2. Aqui verificaremos se é o caso ou não.
Meu objetivo: encontrar o conjunto verdade (todas as soluções inteiras) e, com isso, classificar a fórmula (satisfatível, contraditória ou universal).

Passo 4

Resolver a condição " x divisível por 3 " de forma algébrica. Divisibilidade por 3 significa que existem inteiros k tais que
x=3k,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Substituo isso na equação x+y=10:
3k + y = 10.
Isolando y,
y = 10 - 3k.
Logo, para cada k\in\mathbb{Z} obtenho um par (x,y) = (3k,\,10-3k) que satisfaz ambas as condições.

Passo 5

Descrever o conjunto de todas as soluções e dar exemplos concretos:
O conjunto verdade é
S=\{(3k,\,10-3k)\mid k\in\mathbb{Z}\}.
Alguns exemplos (pegando valores de k):
  • k=0 (x,y)=(0,10).
  • k=1 (x,y)=(3,7).
  • k=2 (x,y)=(6,4).
  • k=3 (x,y)=(9,1).
  • k=4 (x,y)=(12,-2).
    Portanto há infinitas soluções inteiras, uma para cada k\in\mathbb{Z}.

Passo 6

Classificação lógica da fórmula sobre o domínio \mathbb{Z}:
  • A fórmula é satisfatível, porque existem (de fato, infinitos) pares (x,y) que a tornam verdadeira — por exemplo (3,7).
  • A fórmula NÃO é verdadeira para todo (x,y)\in\mathbb{Z}^2 (por exemplo, (1,9) não funciona porque 1 não é divisível por 3), então não é uma tautologia universal.
  • Tampouco é contraditória (não é sempre falsa), pois já vimos soluções.

Resposta

Conjunto de soluções: \{(3k,\,10-3k)\mid k\in\mathbb{Z}\}
Valor lógico (sobre \mathbb{Z}): satisfatível (verdadeira para os pares da solução), não é verdadeira para todos os inteiros.

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