Exercício 14. (F. 3.5, ex.12) Considere o problema de Sturm-Liouville
i) Mostre que se
é uma solução do problema anterior, então
Dica: Use o fato de que
lambda f=-(r f^prime)-p f e integre por partes.
ii) Deduza que se
p(x) <= C para todo
x , então os autovalores do problema acima satisfazem
lambda >=-C .
ii) Deduza que se
Passo 1
O enunciado nos dá o problema de Sturm–Liouville
onde
r(x)>0 e
p(x) são funções dadas em
[a,b] .
Queremos mostrar a identidade
Queremos mostrar a identidade
usando integração por partes, e então deduzir que se
p(x)<= C para todo
x , então
lambda>= -C .
Passo 2
Começamos multiplicando a equação diferencial por
f(x) e integrando de
a até
b .
Como
Como
temos
Passo 3
Aplicamos integração por partes ao termo
-integral f,(r,f')',dx . Escolhendo
obtém-se
Passo 4
Pelas condições de contorno
f(a)=f(b)=0 o termo de contorno desaparece:
Substituindo de volta em
Passo 5
Passo 6
Para deduzir o limite inferior de
lambda , note que
r>0 implica
integrala^br,|f'|^2dx>=0 .
Se aindap(x)<= C em
[a,b] , então
Se ainda
Da identidade em
Passo 7
Resposta
i)
lambdaintegrala^b|f|^2dx =integrala^br,|f'|^2dx -integrala^bp,|f|^2dx
ii) Sep(x)<= C então
lambda>= -C .
ii) Se