Exercício 14. (F. 3.5, ex.12) Considere o problema de Sturm-Liouville
dd x(r d fd x)+p f+lambda f=0, f(a)=f(b)=0
i) Mostre que se f é uma solução do problema anterior, então
lambda integrala^b|f|^2 d x=integrala^b r|f^prime|^2 d x-integrala^b p|f|^2 d x
Dica: Use o fato de que lambda f=-(r f^prime)-p f e integre por partes.
ii) Deduza que se p(x) <= C para todo x, então os autovalores do problema acima satisfazem lambda >=-C.

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de Sturm–Liouville
ddxl(r(x),f'(x)r)+p(x),f(x)+lambda,f(x)=0, f(a)=f(b)=0,
onde r(x)>0 e p(x) são funções dadas em [a,b].
Queremos mostrar a identidade
lambdaintegrala^b|f|^2dx =integrala^br,|f'|^2dx -integrala^bp,|f|^2dx
usando integração por partes, e então deduzir que se p(x)<= C para todo x, então lambda>= -C.

Passo 2

Começamos multiplicando a equação diferencial por f(x) e integrando de a até b.
Como
lambda,f=-l(r,f'r)'-p,f,
temos
lambdaintegrala^b|f|^2dx =-integrala^bf,(r,f')',dx -integrala^bp,|f|^2dx

Passo 3

Aplicamos integração por partes ao termo -integral f,(r,f')',dx. Escolhendo
u=f, dv=(r,f')',dx,
obtém-se
-integrala^bf,(r,f')',dx =-l[f,r,f'r]a^b +integrala^br,|f'|^2dx

Passo 4

Pelas condições de contorno f(a)=f(b)=0 o termo de contorno desaparece:
l[f,r,f'r]a^b=0
Substituindo de volta em

Passo 5

lambdaintegrala^b|f|^2dx =integrala^br,|f'|^2dx -integrala^bp,|f|^2dx

Passo 6

Para deduzir o limite inferior de lambda, note que r>0 implica
integrala^br,|f'|^2dx>=0.
Se ainda p(x)<= C em [a,b], então
-integrala^bp,|f|^2dx >= -integrala^bC,|f|^2dx =-Cintegrala^b|f|^2dx
Da identidade em

Passo 7

lambdaintegrala^b|f|^2dx >= -Cintegrala^b|f|^2dx Longrightarrow lambda>= -C

Resposta

i) lambdaintegrala^b|f|^2dx =integrala^br,|f'|^2dx -integrala^bp,|f|^2dx
ii) Se p(x)<= C então lambda>= -C.

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