Exercício 14. Uma fábrica de sorvetes recebe o leite que utiliza de três fazendas: 20 % da fazenda 1, 30 % da fazenda 2 e 50 % da fazenda 3 . Um orgão de fiscalização inspecionou as fazendas e constatou que 20 % do leite produzido na fazenda 1 estava adulterado por adição de água, enquanto que para as fazendas 2 e 3 essa proporção era de 5 % e 2 %, respectivamente. A fábrica de sorvetes recebe o leite em galões, que são armazenados em um refrigerador, sem identificação da fazenda de proveniência. Um galão é escolhido ao acaso e seu conteúdo é testado para verificar adulteração.
(a) Qual a probabilidade de que o galão contenha leite adulterado?
(b) Sabendo que o teste constatou que o leite do gado está adulterado, obtenha a probabilidade de que o galão seja proveniente da fazenda 1 .

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem um problema de probabilidade condicionada e lei da probabilidade total. A fábrica recebe leite de três fazendas (F1, F2 e F3) com essas porcentagens:
  • P(F1)=20%
  • P(F2)=30%
  • P(F3)=50%
E cada fazenda tem uma taxa de “leite adulterado” diferente:
  • P(A | F1)=20%
  • P(A | F2)=5%
  • P(A | F3)=2%
O que a gente precisa usar:
  1. Lei da probabilidade total para achar P(A), a probabilidade de um galão ser adulterado.
  2. Teorema de Bayes para achar P(F1 | A), a probabilidade de ter vindo da fazenda 1 sabendo que o leite está adulterado.

Passo 2

(Parte a) Calcular P(A) usando a lei da probabilidade total.
A ideia é pegar cada fazenda, ver a chance dela ter sido escolhida E o leite estar adulterado, e somar tudo:
P(A) ;=; P(F1),P(Amid F1);+;P(F2),P(Amid F2);+;P(F3),P(Amid F3)
Substituindo os valores (convertendo % em decimal):
P(A) = 0.2cdot0.2 ;+; 0.3cdot0.05 ;+; 0.5cdot0.02

Passo 3

Vamos fazer as contas de cada parcela:
  • 0.2 × 0.2 = 0.04
  • 0.3 × 0.05 = 0.015
  • 0.5 × 0.02 = 0.01
Somando tudo:
P(A) = 0.04 + 0.015 + 0.01 = 0.065
Ou seja, a chance de um galão qualquer estar adulterado é 0.065 (6,5%).

Passo 4

(Parte b) Agora queremos P(F1 | A). Vamos usar o Teorema de Bayes:
P(F1mid A) = P(F1),P(Amid F1)P(A)
Já temos todos os valores:
  • P(F1) = 0.2
  • P(A | F1) = 0.2
  • P(A) = 0.065
Então:
P(F1mid A) = 0.2 times 0.20.065 = 0.040.065 approx 0.61538
Ou seja, cerca de 61,54% de chance de o galão adulterado ter vindo da fazenda 1.

Resposta

(a) P(leite adulterado) = 0.065 (6,5%)
(b) P(fazenda 1 | adulterado) ≈ 0.615 (61,5%)

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