Exercício 9. Em uma escola, 60 % dos estudantes não usam anel nem colar; 20 % usam anela e 30 % usam colar. Se um aluno é escolhido aleatoriamente, qual a probabilidade de que ele esteja usando
(a) pelo menos uma das joias?
(b) ambas as joias?
© um anel mas não um colar?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que, numa escola:
  • 60 % dos alunos não usam nem anel nem colar
  • 20 % usam anel
  • 30 % usam colar
Queremos achar, ao escolher um aluno qualquer:
(a) a probabilidade de ele usar pelo menos uma joia;
(b) a probabilidade de ele usar as duas joias;
© a probabilidade de ele usar anel, mas não colar.
Conteúdo que vamos usar:
  • Noções de probabilidade de união e interseção de eventos.
  • Fórmula do complementar: P(A cup B) = P(A) + P(B) - P(A cap B) .
  • Fórmula da inclusão–exclusão:

Passo 2

(a) “Pelo menos uma joia” é o evento P(A cup C) = 1 - P(nenhum) = 1 - 0,60 = 0,40 , onde
= usa anel e = usa colar.
Mas é bem mais fácil ver que usar pelo menos uma joia é o complemento de “não usar nenhuma” (que vale 60 %).
Pelo complementar:
Isso dá 40 %.

Passo 3

(b) Agora queremos P(A cup C) = P(A) + P(C) - P(A cap C) , a interseção (usa as duas).
Usamos a inclusão–exclusão:
0,40 = 0,20 + 0,30 - P(A cap C) Longrightarrow P(A cap C) = 0,20 + 0,30 - 0,40 = 0,10
Já sabemos , e .
Então:
Ou seja, 10 % dos alunos usam as duas.

Passo 4

© Queremos “usa anel mas não colar”, isto é P(A) = P(A cap C) + P(A cap C') Longrightarrow P(A cap C') = P(A) - P(A cap C) = 0,20 - 0,10 = 0,10 .
Sabemos que todos que usam anel ( ) se dividem entre quem usa também colar ( ) e quem não usa colar ( ).
Logo:
São 10 %.

Resposta

(a) 40 %
(b) 10 %
© 10 %

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