Exercício 12. Uma moeda é lançada até se obter a primeira cara. Determine:
(a) a probabilidade de que isso ocorra em um lançamento de número par.
(b) a probabilidade de que isso ocorra em um lançamento de número ímpar.
(a) a probabilidade de que isso ocorra em um lançamento de número par.
(b) a probabilidade de que isso ocorra em um lançamento de número ímpar.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a gente vai lançar uma moeda até aparecer a primeira cara. A gente precisa achar duas coisas:
- (a) a probabilidade de a primeira cara aparecer num lançamento de número par;
- (b) a probabilidade de a primeira cara aparecer num lançamento de número ímpar.
O conteúdo é Distribuição Geométrica e Série Geométrica. Para resolver, a gente vai:
- lembrar a fórmula da distribuição geométrica;
- montar duas somas infinitas (uma para lançamentos pares e outra para ímpares);
- usar a soma da série geométrica para fechar o resultado.
Passo 2
Distribuição Geométrica: se
é o número de lançamentos até a primeira cara, com moeda justa (
), então
Isso significa que a chance de a primeira cara sair no
-ésimo lançamento é
.
Passo 3
(a) Probabilidade de sair na posição par. Isso é
Note que
. Então a soma vira
Aí, a probabilidade de a primeira cara sair num lançamento par é
.
Passo 4
(b) Probabilidade de sair na posição ímpar. A gente pode fazer a soma direta ou usar complemento. Pelo complemento:
Se quisermos confirmar montando a série:
Resposta
(a)
(b)
(b)