Exercício 12. Uma moeda é lançada até se obter a primeira cara. Determine:
(a) a probabilidade de que isso ocorra em um lançamento de número par.
(b) a probabilidade de que isso ocorra em um lançamento de número ímpar.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente vai lançar uma moeda até aparecer a primeira cara. A gente precisa achar duas coisas:
  • (a) a probabilidade de a primeira cara aparecer num lançamento de número par;
  • (b) a probabilidade de a primeira cara aparecer num lançamento de número ímpar.
O conteúdo é Distribuição Geométrica e Série Geométrica. Para resolver, a gente vai:
  1. lembrar a fórmula da distribuição geométrica;
  2. montar duas somas infinitas (uma para lançamentos pares e outra para ímpares);
  3. usar a soma da série geométrica para fechar o resultado.

Passo 2

Distribuição Geométrica: se P(X = k) ;=;(1-p)^,k-1,p ;=;l(tfrac12r)^k-1,tfrac12 ;=;l(tfrac12r)^k é o número de lançamentos até a primeira cara, com moeda justa ( ), então
Isso significa que a chance de a primeira cara sair no -ésimo lançamento é .

Passo 3

(a) Probabilidade de sair na posição par. Isso é
P(par) ;=;sumn=1^infty Pl(X = 2nr) ;=;sumn=1^infty l(tfrac12r)^2n
Note que sumn=1^infty l(tfrac14r)^n ;=; tfrac141 - tfrac14 ;=; tfrac14tfrac34 ;=; 13 . Então a soma vira
Aí, a probabilidade de a primeira cara sair num lançamento par é .

Passo 4

(b) Probabilidade de sair na posição ímpar. A gente pode fazer a soma direta ou usar complemento. Pelo complemento:
P(ímpar) ;=; 1 - P(par) ;=; 1 - 13 ;=; 23 í
Se quisermos confirmar montando a série:
P(ímpar) = sumn=0^infty Pl(X = 2n+1r) = sumn=0^infty l(tfrac12r)^2n+1 = tfrac12 sumn=0^infty l(tfrac14r)^n = tfrac12 cdot 11 - tfrac14 = tfrac12 cdot tfrac43 = tfrac23 í

Resposta

(a)
(b)

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