Exercício 14: Inverta a ordem de integração.
integral0^1[integral0^x f(x, y) d y] d x;

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral
integral0^1l[integral0^xf(x,y),dyr]dx
O conteúdo é interpretação de domínio de integração em duplas integrais e aplicação do Teorema de Fubini. Vamos desenhar o domínio e achar os novos limites.

Passo 2

Identificamos o domínio
D = (x,y)mid 0<= x<= 1,;0<= y<= x
No plano (x,y), isso é a região abaixo da reta y=x, entre x=0 e x=1, acima de y=0.

Passo 3

Para inverter a ordem, fixamos y primeiro. Vemos que y varia de 0 até 1. Para dado y, x vai do valor mínimo em que a região começa, que é x=y, até o valor máximo dado por x=1.

Passo 4

Com isso, a integral invertida fica
integraly=0^1l[integralx=y^1f(x,y),dxr]dy

Resposta

integral0^1integral0^xf(x,y),dy,dx = integral0^1integraly^1f(x,y),dx,dy

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