Exercício 14 (E.M.3.57)
Seja ( ) um espaço métrico. Prove que é um conjunto aberto se, e somente se, para todo X subset M.
Passo 1
O enunciado diz o seguinte: em um espaço métrico (M,d), um conjunto Asubset M é aberto se, e somente se, para todo Xsubset M vale
AcapX;subset;,Acap X,
O conteúdo que vamos usar inclui a definição de conjunto aberto (bolas centradas em cada ponto ficam dentro de A) e a definição de fecho X (todo ponto de X tem bolas que encontram X).
Passo 2
Prova de “Rightarrow”: suponha que A seja aberto. Tome um ponto
yin AcapX
Então yin A e, por estar em X, para todo varepsilon>0
B(y,varepsilon)cap Xneqvarnothing
Como A é aberto, existe de<a>0 tal que
B(y,de<a)subset A
Agora, se escolhermos varepsilon<de<a, qualquer ponto em
B(y,varepsilon)cap X
está também em A, ou seja
B(y,varepsilon)capl(Acap Xr)neqvarnothing
Isso mostra que yin,Acap X,. Como y era um ponto genérico de AcapX, concluímos
AcapX;subset;,Acap X,
Passo 3
Prova de “Leftarrow”: suponha que para todo Xsubset M valha