Exercício 14 (E.M.3.57)
Seja ( M, d ) um espaço métrico. Prove que A subset M é um conjunto aberto se, e somente se, A cap barX subset A cap X para todo X subset M.

Passo 1

O enunciado diz o seguinte: em um espaço métrico (M,d), um conjunto Asubset M é aberto se, e somente se, para todo Xsubset M vale
AcapX;subset;,Acap X,
O conteúdo que vamos usar inclui a definição de conjunto aberto (bolas centradas em cada ponto ficam dentro de A) e a definição de fecho X (todo ponto de X tem bolas que encontram X).

Passo 2

Prova de “ Rightarrow”: suponha que A seja aberto. Tome um ponto
yin AcapX
Então yin A e, por estar em X, para todo varepsilon>0
B(y,varepsilon)cap Xneqvarnothing
Como A é aberto, existe de<a>0 tal que
B(y,de<a)subset A
Agora, se escolhermos varepsilon<de<a, qualquer ponto em
B(y,varepsilon)cap X
está também em A, ou seja
B(y,varepsilon)capl(Acap Xr)neqvarnothing
Isso mostra que yin,Acap X,. Como y era um ponto genérico de AcapX, concluímos
AcapX;subset;,Acap X,

Passo 3

Prova de “ Leftarrow”: suponha que para todo Xsubset M valha
AcapX;subset;,Acap X,
Escolha X=Msetminus A. Então
Acap,Msetminus A,;subset;,Acap(Msetminus A), =varnothing=varnothing
Logo
Acap,Msetminus A,=varnothing Longrightarrow Asubset Msetminus,Msetminus A,
Mas Msetminus,Msetminus A, é justamente o interior de A, ou seja int(A). Portanto
Asubsetint(A)
Como sempre int(A)subset A, temos int(A)=A, o que implica que A é aberto.

Resposta

Prova completa: A é aberto se, e somente se, para todo Xsubset M vale
AcapXsubset,Acap X,

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