Exercício 15 (E.M.3.58)
Dê um exemplo na reta em que A seja aberto e os três conjuntos A cap barB, barA cap barB e A cap B sejam distintos.

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de subconjuntos de R em que A seja aberto e os três conjuntos
AcapB, AcapB, Acap B
sejam todos distintos. Vamos escolher A aberto e definir B de modo que a interseção de A com a fechadura de B produza um ponto “à parte” que não apareça em Acap B, mas que entre na fechadura de A.

Passo 2

Definimos
A = (0,1),cup,(2,3),
que é união de dois intervalos abertos (logo A é aberto), e
B = (1,2)

Passo 3

Calculamos B. Como B=(1,2) é um intervalo aberto, sua fechadura é
B = [1,2]
Então
AcapB = l((0,1)cup(2,3)r),cap,[1,2] = (0,1)cap[1,2];cup;(2,3)cap[1,2] = emptyset;cup;2 = 2

Passo 4

Agora A = [0,1]cup[2,3]. Logo
A,cap,B = l([0,1]cup[2,3]r)cap[1,2] = ([0,1]cap[1,2]);cup;([2,3]cap[1,2]) = 1;cup;2 = 1,2

Passo 5

Calculamos Acap B:
Acap B = l((0,1)cup(2,3)r)cap(1,2) = (0,1)cap(1,2);cup;(2,3)cap(1,2) = emptyset;cup;emptyset = emptyset
Então
Acap B = emptyset = emptyset

Passo 6

Resumindo temos
AcapB = 2, AcapB = 1,2, Acap B = emptyset,
que são três conjuntos distintos.

Resposta

Um exemplo que funciona é
A=(0,1)cup(2,3), B=(1,2),
pois então
AcapB=2, AcapB=1,2, Acap B=emptyset,
todos distintos.

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