Exercício 1.3.14. Uma pessoa possui 5 livros diferentes de Matemática, 2 livros diferentes de Química e 3 livros diferentes de Física, que serão dispostos aleatoriamente em uma prateleira. De quantos modos podemos colocar os livros na estante de maneira que:
a) Os livros de cada assunto fiquem juntos.
b) Os livros de Matemática fiquem todos separados.
a) Os livros de cada assunto fiquem juntos.
b) Os livros de Matemática fiquem todos separados.
Passo 1
Resumindo: temos
livros de Matemática,
de Química e
de Física, total de
livros distintos, e queremos contar permutações com duas restrições:
- (a) manter juntos todos os livros de cada disciplina;
- (b) fazer com que nenhum par de livros de Matemática fique adjacente.
O conteúdo aqui é permutações simples, permutações de blocos e método dos “vãos” (gaps).
Passo 2
Para (a), cada assunto forma um bloco: um bloco de
livros de Matemática, um de
de Química e um de
de Física.
. Posicionamos esses
blocos na estante em
maneiras.
. Dentro de cada bloco permutamos internamente: Matemática em
maneiras, Química em
e Física em
.
Logo, o total é
Logo, o total é
Passo 3
Para (b), queremos que os
livros de Matemática não fiquem adjacentes.
. Primeiro disparamos os
livros não-matemáticos (
Química
Física) em
maneiras.
. Esses criam
“vãos” (antes, entre e depois dos não-matemáticos).
. Escolhemos
desses
vãos para colocar cada um dos
livros de Matemática, em
maneiras.
. E permutamos os
livros de Matemática nesses lugares em
maneiras.
Assim o total é
Assim o total é
Resposta
(a)
(b)
(b)