Exercício 1.3.14. Uma pessoa possui 5 livros diferentes de Matemática, 2 livros diferentes de Química e 3 livros diferentes de Física, que serão dispostos aleatoriamente em uma prateleira. De quantos modos podemos colocar os livros na estante de maneira que:
a) Os livros de cada assunto fiquem juntos.
b) Os livros de Matemática fiquem todos separados.

Passo 1

Resumindo: temos 5 livros de Matemática, 2 de Química e 3 de Física, total de 10 livros distintos, e queremos contar permutações com duas restrições:
  • (a) manter juntos todos os livros de cada disciplina;
  • (b) fazer com que nenhum par de livros de Matemática fique adjacente.
    O conteúdo aqui é permutações simples, permutações de blocos e método dos “vãos” (gaps).

Passo 2

Para (a), cada assunto forma um bloco: um bloco de 5 livros de Matemática, um de 2 de Química e um de 3 de Física.
1. Posicionamos esses 3 blocos na estante em 3! maneiras.
2. Dentro de cada bloco permutamos internamente: Matemática em 5! maneiras, Química em 2! e Física em 3!.
Logo, o total é
3!times 5!times 2!times 3! ;=;6times 120times 2times 6 ;=;8640

Passo 3

Para (b), queremos que os 5 livros de Matemática não fiquem adjacentes.
1. Primeiro disparamos os 5 livros não-matemáticos ( 2 Química +3 Física) em 5! maneiras.
2. Esses criam 6 “vãos” (antes, entre e depois dos não-matemáticos).
3. Escolhemos 5 desses 6 vãos para colocar cada um dos 5 livros de Matemática, em binom65 maneiras.
4. E permutamos os 5 livros de Matemática nesses lugares em 5! maneiras.
Assim o total é
5!times binom65times 5! ;=;120times 6times 120 ;=;86400

Resposta

(a) 8640
(b) 86400

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