Exercício 14. Na pintura de paredes, aparecem defeitos em média na proporção de um defeito por metro quadrado. Qual a probabilidade de aparecerem 3 defeitos numa parede de 2 \times 2 \mathrm{~m} ?
Distribuição de Poisson:

Passo 1

O enunciado diz que defeitos aparecem em média na proporção de um defeito por metro quadrado e pergunta a probabilidade de surgir exatamente 3 defeitos numa parede de 2\times2 m. O conteúdo aqui é a distribuição de Poisson, pois estamos contando ocorrências (defeitos) em uma área fixa, com taxa média conhecida.

Passo 2

Na distribuição de Poisson, se X é o número de ocorrências num intervalo (ou área) qualquer, então
P(X = k) = \frac{\lambda^{k} e^{-\lambda}}{k!},
onde \lambda é a média de ocorrências nesse intervalo e k é o número de ocorrências de interesse.

Passo 3

Aqui a taxa média é de 1 defeito por metro quadrado e a área da parede é
A = 2 \times 2 = 4\text{ m}^2.
Logo a média total de defeitos nessa parede é
\lambda = 1 \times 4 = 4.

Passo 4

Queremos P(X=3) com \lambda=4. Basta aplicar a fórmula:
P(X=3) = \frac{4^{3} e^{-4}}{3!} = \frac{64\,e^{-4}}{6} = \frac{32}{3}\,e^{-4}.

Passo 5

Para ter uma ideia numérica, lembrando que e^{-4}\approx0{,}0183:
P(X=3)\approx \frac{32}{3}\times0{,}0183\approx0{,}195.

Resposta

A probabilidade de aparecerem exatamente 3 defeitos é
\boxed{P(X=3)=\frac{4^{3}e^{-4}}{3!}=\frac{32}{3}\,e^{-4}\approx0{,}195.}

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