Dada a função de distribuição acumulada
F(x)=\left\{\begin{array}{lll} 0 & \text { se } & x<1 \\\\ 0,1 & \text { se } & 1 \leq x<2 \\\\ 0,3 & \text { se } & 2 \leq x<3 \\\\ 0,7 & \text { se } & 3 \leq x<4 \\\\ 0,8 & \text { se } & 4 \leq x<5 \\\\ 1 & \text { se } & 5 \leq x \end{array}\right.
Calcule a função de probabilidade da variável X cuja f.d.a. é F(\cdot). Calcule ainda o valor esperado e a variância de X.

Passo 1

O enunciado dá a função de distribuição acumulada F(x) de uma variável aleatória discreta X. O que precisamos fazer é (1) extrair a função de probabilidade p(x)=P(X=x) a partir dos saltos de F, e depois (2) usar as fórmulas de valor esperado e variância para variáveis discretas:\r
E[X] = \sum_{x} x\,p(x), \quad \mathrm{Var}(X) = E[X^2] - \bigl(E[X]\bigr)^2.

Passo 2

Os saltos de F ocorrem nos pontos onde F aumenta de valor, ou seja em x=1,2,3,4,5. Em cada ponto\r
p(x) \;=\; F(x) - \lim_{t\to x^-}F(t).

Passo 3

Calculando cada salto:\r
p(1) = F(1)-F(1^-) = 0,1 - 0 = 0,1,
p(2) = F(2)-F(2^-) = 0,3 - 0,1 = 0,2,
p(3) = F(3)-F(3^-) = 0,7 - 0,3 = 0,4,
p(4) = F(4)-F(4^-) = 0,8 - 0,7 = 0,1,
p(5) = F(5)-F(5^-) = 1 - 0,8 = 0,2.

Passo 4

Agora o valor esperado é\r
E[X] = 1\cdot0,1 + 2\cdot0,2 + 3\cdot0,4 + 4\cdot0,1 + 5\cdot0,2 = 0,1 + 0,4 + 1,2 + 0,4 + 1,0 = 3,1.

Passo 5

Para a variância, primeiro calculamos
E[X^2] = 1^2\cdot0,1 + 2^2\cdot0,2 + 3^2\cdot0,4 + 4^2\cdot0,1 + 5^2\cdot0,2 = 0,1 + 0,8 + 3,6 + 1,6 + 5,0 = 11,1.
Logo
\mathrm{Var}(X) = E[X^2] - \bigl(E[X]\bigr)^2 = 11,1 - (3,1)^2 = 11,1 - 9,61 = 1,49.

Resposta

A função de probabilidade é\r
p(1)=0,1,\quad p(2)=0,2,\quad p(3)=0,4,\quad p(4)=0,1,\quad p(5)=0,2.\r
O valor esperado é E[X]=3,1 e a variância é \mathrm{Var}(X)=1,49.

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