** 2 - Um atirador acerta o centro do alvo em 20 \% dos tiros. Em um dia de treino ele decide atirar diveras vezes até acertar o centro. Suponha que a cada tiro ele acerta o centro de maneira independente dos demais tiros. Qual o número esperado de tiros que o atirador deve dar até acertar o centro?

Passo 1

O enunciado diz que a probabilidade de sucesso (acertar o centro) em cada tiro é p=0,2 e que os tiros são independentes. Ele atira até obter o primeiro sucesso. O conteúdo aqui é distribuição geométrica, pois estamos contando o número de tentativas até a primeira ocorrência de um evento de probabilidade p.

Passo 2

Seja N a variável aleatória que representa o número de tiros até o primeiro acerto. Para a distribuição geométrica vale
P(N=k) = (1-p)^{\,k-1}p,
ou seja, fracassos nas k-1 primeiras tentativas e sucesso na k-ésima.

Passo 3

A expectativa de N para a distribuição geométrica é
E(N) = \frac{1}{p}.
Substituindo p=0,2, temos
E(N) = \frac{1}{0,2} = 5.

Resposta

O número esperado de tiros até acertar o centro é 5.

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