Demonstre que em um domínio euclidiano, todo ideal é principal.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em um domínio euclidiano R, qualquer ideal I\subseteq R é gerado por um único elemento, ou seja, existe b\in R tal que
I = (b) = \{\,b\cdot r \mid r\in R\}.
Para isso vamos usar a definição de domínio euclidiano e o algoritmo da divisão.

Passo 2

Lembremos que um domínio euclidiano é um domínio integral R munido de uma função grau
\delta\colon R\setminus\{0\}\to \mathbb{N}
tal que, para quaisquer a,b\in R com b\neq0, existem q,r\in R satisfazendo
a = bq + r \quad\text{com}\quad r=0\quad\text{ou}\quad\delta(r)<\delta(b).
Vamos separar dois casos para o ideal I.

Passo 3

Caso I = \{0\}.
Então I é o ideal principal gerado por 0, i.e., I=(0).

Passo 4

Caso I\neq\{0\}.
Como I contém elementos não nulos, considere o conjunto de graus
\{\delta(a)\mid a\in I,\;a\neq0\}\subseteq\mathbb{N}.
Por ser não vazio e contido em \mathbb{N}, esse conjunto tem um menor elemento. Seja b\in I tal que
\delta(b)=\min\{\delta(a)\mid a\in I,\;a\neq0\}.

Passo 5

Mostramos que I=(b).
Tomemos um elemento arbitrário a\in I. Pela propriedade euclidiana, dividimos a por b: existem q,r\in R com
a = bq + r, \quad r=0\text{ ou }\delta(r)<\delta(b).
Como a\in I e bq\in I, segue r = a - bq\in I. Se r\neq0, então \delta(r)<\delta(b), o que contradiz a minimalidade de \delta(b). Logo necessariamente r=0, e portanto
a = bq.
Isso mostra que todo a\in I pertence ao ideal (b), isto é, I\subseteq(b). Por outro lado, b\in I implica (b)\subseteq I.

Resposta

Portanto, qualquer ideal I de um domínio euclidiano R é gerado por um único elemento b, ou seja,
I = (b).

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