Demonstre que em um domínio euclidiano, todo ideal é principal.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em um domínio euclidiano
, qualquer ideal
é gerado por um único elemento, ou seja, existe
tal que
Para isso vamos usar a definição de domínio euclidiano e o algoritmo da divisão.
Passo 2
Lembremos que um domínio euclidiano é um domínio integral
munido de uma função grau
tal que, para quaisquer
com
, existem
satisfazendo
Vamos separar dois casos para o ideal
.
Passo 3
Caso
.
Então é o ideal principal gerado por
, i.e.,
.
Então
Passo 4
Caso
.
Como contém elementos não nulos, considere o conjunto de graus
Como
Por ser não vazio e contido em
, esse conjunto tem um menor elemento. Seja
tal que
Passo 5
Mostramos que
.
Tomemos um elemento arbitrário . Pela propriedade euclidiana, dividimos
por
: existem
com
Tomemos um elemento arbitrário
Como
e
, segue
. Se
, então
, o que contradiz a minimalidade de
. Logo necessariamente
, e portanto
Isso mostra que todo
pertence ao ideal
, isto é,
. Por outro lado,
implica
.
Resposta
Portanto, qualquer ideal
de um domínio euclidiano
é gerado por um único elemento
, ou seja,