Exercício 1.4.15. Ao entrarem em casa de amigos, 5 pessoas deixam seus guarda -chuvas com a dona da casa. Quando as pessoas resolve
pedi-los
de volta para sair, a dona da casa constata que todos eles são aparentemente iguais, e resolve distribuí-los ao acaso.
a) De quantas maneiras ela pode distribuí-los de forma que todos os visitantes recebam um guarda-chuva errado?
b)De quantas maneiras ela pode distribuí-los de forma que somente uma pessoa receba o guarda-chuva certo?
c) De quanta s maneiras ela pode distribuí-los de forma que somente uma determinada pessoa receba o guarda-chuva certo?
de volta para sair, a dona da casa constata que todos eles são aparentemente iguais, e resolve distribuí-los ao acaso.
a) De quantas maneiras ela pode distribuí-los de forma que todos os visitantes recebam um guarda-chuva errado?
b)De quantas maneiras ela pode distribuí-los de forma que somente uma pessoa receba o guarda-chuva certo?
c) De quanta s maneiras ela pode distribuí-los de forma que somente uma determinada pessoa receba o guarda-chuva certo?
Passo 1
O enunciado descreve 5 guarda-chuvas, cada um pertencente a um dos 5 visitantes, que são embaralhados aleatoriamente e devolvidos sem critério. O conteúdo é contagem de permutações sujeitas a restrições de “pontos fixos” (quem recebe o próprio guarda-chuva). Vamos usar permutações, princípio da inclusão-exclusão e conceitos de derangement (permutações sem pontos fixos).
Passo 2
Para (a) queremos o número de permutações de 5 elementos sem ponto fixo, ou seja, o derangement de
, denotado por
. Pelo princípio da inclusão-exclusão vale
Logo
Passo 3
Para (b) queremos exatamente uma pessoa recebendo o guarda-chuva certo. Primeiro escolhemos quem é essa pessoa, em
formas, e depois deranjamos os outros 4 guarda-chuvas para as 4 pessoas restantes. Como
, o total é
Passo 4
Para (c) queremos que uma pessoa determinada (já fixa) receba o guarda-chuva certo e todos os outros estejam errados. Isso é exatamente o derangement dos 4 guarda-chuvas restantes, ou seja
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)