Exercício 1.4.15. Ao entrarem em casa de amigos, 5 pessoas deixam seus guarda -chuvas com a dona da casa. Quando as pessoas resolve m pedi-los
de volta para sair, a dona da casa constata que todos eles são aparentemente iguais, e resolve distribuí-los ao acaso.
a) De quantas maneiras ela pode distribuí-los de forma que todos os visitantes recebam um guarda-chuva errado?
b)De quantas maneiras ela pode distribuí-los de forma que somente uma pessoa receba o guarda-chuva certo?
c) De quanta s maneiras ela pode distribuí-los de forma que somente uma determinada pessoa receba o guarda-chuva certo?

Passo 1

O enunciado descreve 5 guarda-chuvas, cada um pertencente a um dos 5 visitantes, que são embaralhados aleatoriamente e devolvidos sem critério. O conteúdo é contagem de permutações sujeitas a restrições de “pontos fixos” (quem recebe o próprio guarda-chuva). Vamos usar permutações, princípio da inclusão-exclusão e conceitos de derangement (permutações sem pontos fixos).

Passo 2

Para (a) queremos o número de permutações de 5 elementos sem ponto fixo, ou seja, o derangement de n=5, denotado por !5. Pelo princípio da inclusão-exclusão vale
!n = n! sumk=0^n (-1)^kk!
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!5 = 5!l(1 - tfrac11! + tfrac12! - tfrac13! + tfrac14! - tfrac15!r) = 120l(1 - 1 + tfrac12 - tfrac16 + tfrac124 - tfrac1120r) = 44

Passo 3

Para (b) queremos exatamente uma pessoa recebendo o guarda-chuva certo. Primeiro escolhemos quem é essa pessoa, em binom51 formas, e depois deranjamos os outros 4 guarda-chuvas para as 4 pessoas restantes. Como !4 = 4!l(1 - 1 + tfrac12 - tfrac16 + tfrac124r)=9, o total é
binom51times !4 = 5 times 9 = 45

Passo 4

Para (c) queremos que uma pessoa determinada (já fixa) receba o guarda-chuva certo e todos os outros estejam errados. Isso é exatamente o derangement dos 4 guarda-chuvas restantes, ou seja
!4 = 9

Resposta

(a) 44
(b) 45
(c) 9

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