Exercício 14:
e
seqüências em
. Defina a seqüência
. Prove que
.
Passo 1
O enunciado define três sequências reais
,
e
tais que
e constrói a sequência
alternando os termos como
. O objetivo é provar que
usando a definição de limite de sequência.
Passo 2
Pela definição de limite, como
, para todo
existe
tal que
sempre que
. De modo idêntico, existem
e
para as sequências
e
, respectivamente.
Passo 3
Definimos
. Assim, para todo
temos simultaneamente
Passo 4
Agora, seja
. Dependendo do resto de
na divisão por 3 temos
- Se
, então . - Se
, então . - Se
, então .
Passo 5
Em cada caso, como
para o respectivo índice
, garante-se
. Portanto, mostramos que para todo
existe
tal que, sempre que
, vale
.