Exercício 14: R com lim an=lim bn=lim cn=L e lim xk=L seqüências em . Defina a seqüência . Prove que .

Passo 1

O enunciado define três sequências reais (an), (bn) e (cn) tais que lim an=lim bn=lim cn=L e constrói a sequência (xk) alternando os termos como x1=a1,,x2=b2,,x3=c3,,x4=a4,dots. O objetivo é provar que lim xk=L usando a definição de limite de sequência.

Passo 2

Pela definição de limite, como lim an=L, para todo varepsilon>0 existe N1 tal que |an-L| sempre que n>= N1. De modo idêntico, existem N2 e N3 para as sequências (bn) e (cn), respectivamente.

Passo 3

Definimos N=maxN1,N2,N3. Assim, para todo n>= N temos simultaneamente
|an-L|

Passo 4

Agora, seja k>= N. Dependendo do resto de k na divisão por 3 temos
  • Se kequiv1pmod3, então xk=ak.
  • Se kequiv2pmod3, então xk=bk.
  • Se kequiv0pmod3, então xk=ck.

Passo 5

Em cada caso, como k>= N>= Ni para o respectivo índice i, garante-se |xk-L|. Portanto, mostramos que para todo varepsilon>0 existe N tal que, sempre que k>= N, vale |xk-L|.

Resposta

lim xk = L

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