Mostre como encontrar a derivada f^prime(x) das funções abaixo

Passo 1

Nesse exercício, a gente tem a função f(x) = (x^2 + 1)e^x. O conteúdo principal é a regra do produto para derivadas e a derivada da função exponencial. Vamos usar que, para u(x)v(x), vale (uv)' = u'v + uv', além de saber que (e^x)' = e^x.

Passo 2

Vamos chamar u(x) = x^2 + 1 e v(x) = e^x. Assim, aplicamos a regra do produto:
Primeiro, calculamos as derivadas parciais:
u'(x) = ddx(x^2 + 1) = 2x, v'(x) = ddx(e^x) = e^x

Passo 3

Agora substituímos na fórmula da regra do produto:
f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 2x,e^x + (x^2+1)e^x

Passo 4

Para simplificar, fatoramos e^x:
f'(x) = e^xl(2x + x^2 + 1r) = e^xl(x^2 + 2x + 1r)

Passo 5

Reconhecendo que x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2, podemos escrever a forma final como:
f'(x) = e^x(x+1)^2

Resposta

f’(x) = ex(x+1)2

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