Exercício 14. Represente A \cup B e A \cap B como intervalos quando: Obs. Pode raciocinar graficamente: não é preciso mostrar as contenções neste exercício.
A=[2,7) e B=[5,20)

Passo 1

O enunciado pede para representar A\cup B e A\cap B como intervalos.
As informações fornecidas são:
A = [2,7) e B = [5,20).
Não há outras condições nem figuras adicionais — apenas esses dois intervalos no eixo real.

Passo 2

Vamos visualizar mentalmente os intervalos no eixo numérico (desenhar no rascunho da prova ajuda muito). Colocando os extremos:
  • A começa em 2 (incluso) e vai até 7 (não incluso): [2,7).
  • B começa em 5 (incluso) e vai até 20 (não incluso): [5,20).
Marque esses pontos na reta: 2 — 5 — 7 — 20. Note que os intervalos se sobrepõem entre 5 e 7.

Passo 3

Definição prática para intersecção: a intersecção de dois intervalos é a parte comum a ambos. Em termos de extremos, se temos [a_1,b_1) e [a_2,b_2), a intersecção (quando existe) tem início em \max(a_1,a_2) e fim em \min(b_1,b_2), com as aberturas/fechamentos determinados pelos dos intervalos originais.
Aqui:
  • \max dos inícios é \max(2,5)=5.
  • \min dos fins é \min(7,20)=7.
Como 5<7, a intersecção é o intervalo que vai de 5 (incluso em ambos) até 7 (não incluído em A, portanto não incluído na intersecção). Logo,
A\cap B = [5,7).

Passo 4

Definição prática para união: a união de dois intervalos é o conjunto de pontos que pertencem a pelo menos um dos intervalos. Se os intervalos se sobrepõem (ou se encostam com pelo menos um dos lados fechado), a união é um único intervalo que vai do menor início até o maior fim, respeitando se cada extremo é fechado ou aberto conforme os intervalos originais.
Aqui os intervalos se sobrepõem (porque 5<7), então a união é contínua do menor início até o maior fim:
  • menor início: \min(2,5)=2, e 2 é incluído em A, então o extremo esquerdo será fechado.
  • maior fim: \max(7,20)=20. Nem A nem B incluem 20 (apenas B chega até 20 com parêntese), então o extremo direito será aberto.
Portanto,
A\cup B = [2,20).

Passo 5

Pequeno comentário sobre os fechamentos/aberturas (para você entender e aplicar em outras questões):
  • Para o extremo esquerdo da união usamos o menor dos inícios; se pelo menos um dos intervalos inclui esse ponto (colchete), a união inclui também. Aqui o ponto 2 é incluído em A, então a união inclui 2.
  • Para o extremo direito da união usamos o maior dos fins; para decidir se é fechado precisamos que esse ponto seja incluído por algum intervalo. Aqui o maior fim é 20, mas B tem 20 com parêntese, logo não incluído, então a união não inclui 20.
  • Para a intersecção, usamos o maior início e o menor fim; se o maior início for igual ao menor fim, pode resultar num ponto ou vazio dependendo de fechamentos — sempre verifique se o ponto é incluído por ambos.

Resposta

[2,20)
[5,7)

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