Exercício 14. Represente
e
como intervalos quando: Obs. Pode raciocinar graficamente: não é preciso mostrar as contenções neste exercício.
e
Passo 1
O enunciado pede para representar
e
como intervalos.
As informações fornecidas são:
e
.
Não há outras condições nem figuras adicionais — apenas esses dois intervalos no eixo real.
As informações fornecidas são:
Não há outras condições nem figuras adicionais — apenas esses dois intervalos no eixo real.
Passo 2
Vamos visualizar mentalmente os intervalos no eixo numérico (desenhar no rascunho da prova ajuda muito). Colocando os extremos:
-
começa em (incluso) e vai até (não incluso): . -
começa em (incluso) e vai até (não incluso): .
Marque esses pontos na reta: 2 — 5 — 7 — 20. Note que os intervalos se sobrepõem entre
e
.
Passo 3
Definição prática para intersecção: a intersecção de dois intervalos é a parte comum a ambos. Em termos de extremos, se temos
e
, a intersecção (quando existe) tem início em
e fim em
, com as aberturas/fechamentos determinados pelos dos intervalos originais.
Aqui:
-
dos inícios é . -
dos fins é .
Como
, a intersecção é o intervalo que vai de
(incluso em ambos) até
(não incluído em
, portanto não incluído na intersecção). Logo,
Passo 4
Definição prática para união: a união de dois intervalos é o conjunto de pontos que pertencem a pelo menos um dos intervalos. Se os intervalos se sobrepõem (ou se encostam com pelo menos um dos lados fechado), a união é um único intervalo que vai do menor início até o maior fim, respeitando se cada extremo é fechado ou aberto conforme os intervalos originais.
Aqui os intervalos se sobrepõem (porque
), então a união é contínua do menor início até o maior fim:
- menor início:
, e é incluído em , então o extremo esquerdo será fechado. - maior fim:
. Nem nem incluem (apenas chega até com parêntese), então o extremo direito será aberto.
Portanto,
Passo 5
Pequeno comentário sobre os fechamentos/aberturas (para você entender e aplicar em outras questões):
- Para o extremo esquerdo da união usamos o menor dos inícios; se pelo menos um dos intervalos inclui esse ponto (colchete), a união inclui também. Aqui o ponto
é incluído em , então a união inclui . - Para o extremo direito da união usamos o maior dos fins; para decidir se é fechado precisamos que esse ponto seja incluído por algum intervalo. Aqui o maior fim é
, mas tem com parêntese, logo não incluído, então a união não inclui . - Para a intersecção, usamos o maior início e o menor fim; se o maior início for igual ao menor fim, pode resultar num ponto ou vazio dependendo de fechamentos — sempre verifique se o ponto é incluído por ambos.