Exercício 11. Este exercício trata da ordenação dos números reais e sua relação com as operações de soma, multiplicação e potências. Neste contexto, faça o que se pede.
Sabendo que
e
, coloque em ordem crescente os números
.
Sabendo que
Passo 1
O enunciado dá as informações seguintes e pede que coloquemos em ordem crescente os números indicados.
-
Informações dadas:
.
.
. -
Números a ordenar:
Passo 2
Primeiro vamos entender o sinal e em que intervalo cada quantidade está, usando só
e
.
-
Como
, então é negativo e fica à esquerda de : . -
Então
é positivo e maior que : . -
O inverso de
, isto é , é negativo e fica entre e : . (Porque o recíproco de um número com módulo maior que tem módulo menor que e conserva o sinal.) -
Consequentemente
é positivo e está entre e : . -
Como
, é positivo e . -
Então
. -
E
é negativo com . -
E
(pois , seu negativo fica abaixo de ).
Resumo dos intervalos já obtidos:
Passo 3
Agora vamos usar a desigualdade extra
, que é crucial. Vou manipular essa desigualdade de formas úteis, explicando cada passo e por que podemos dividir pelos números envolvidos.
Começo com
Como
, ao dividir por
a direção da desigualdade não muda:
Isto nos dá uma ordem entre
e
:
(Explicação: dividir por número positivo preserva o sinal da desigualdade.)
Também podemos dividir
por
, mas atenção:
é negativo, então ao dividir por
a desigualdade inverte:
Multiplicando por
nessa última desigualdade (que inverte o sinal) obtemos
Resumindo as desigualdades derivadas de
:
Passo 4
Vamos organizar o que já temos em blocos (números muito negativos, entre
e
, entre
e
, e maiores que
).
Bloco 1: valores menores que
.
- Sabemos que
e também de Passo 3 temos e sabemos . Portanto, entre os valores menores que temos a ordem
(Explicação:
é estritamente menor que
por
e
é estritamente menor que
por hipótese.)
Bloco 2: valores entre
e
.
- Já vimos que
e estão em . - De Passo 3 obtemos
. - Então a ordem dentro de
é
(Explicação:
é mais negativo que
porque deduzimos
.)
Bloco 3: valores entre
e
.
- Temos
e . - De Passo 3 temos
. - Assim, no intervalo
a ordem é
Bloco 4: valores maiores que
.
- Temos
e . - Ainda de Passo 3 podemos obter relação entre
e . Reescrevendo como (multiplicando por ), e dividindo por , obtemos
Portanto, entre os maiores que
vem primeiro
e depois
:
Passo 5
Agora juntamos os quatro blocos em sequência crescente, verificando a continuidade entre eles.
Dos blocos obtidos:
- Menores que
: . - Entre
e : . - Entre
e : . - Maiores que
: .
Como cada bloco termina e o próximo começa exatamente nos pontos
que são respectivamente maiores do anterior e menores do seguinte, podemos concatená-los sem quebra na ordem crescente total.
Passo 6
Escrevendo a ordenação completa em ordem crescente (do menor para o maior), juntando os blocos na sequência correta, obtemos a cadeia: