Exercício 11. Este exercício trata da ordenação dos números reais e sua relação com as operações de soma, multiplicação e potências. Neste contexto, faça o que se pede.
Sabendo que a<-1,0<b<1 e a b+1>0, coloque em ordem crescente os números 0,1,-1, a,-a, b,-b, \frac{1}{a},-\frac{1}{a}, \frac{1}{b} \mathrm{e}-\frac{1}{b}.

Passo 1

O enunciado dá as informações seguintes e pede que coloquemos em ordem crescente os números indicados.
  • Informações dadas:
    a<-1.
    0<b<1.
    ab+1>0.
  • Números a ordenar:
    0,\;1,\;-1,\;a,\;-a,\;b,\;-b,\;\frac{1}{a},\;-\frac{1}{a},\;\frac{1}{b},\;-\frac{1}{b}.

Passo 2

Primeiro vamos entender o sinal e em que intervalo cada quantidade está, usando só a<-1 e 0<b<1.
  • Como a<-1, então a é negativo e fica à esquerda de -1: a<-1.
  • Então -a é positivo e maior que 1: -a>1.
  • O inverso de a, isto é \frac{1}{a}, é negativo e fica entre -1 e 0: -1<\frac{1}{a}<0. (Porque o recíproco de um número com módulo maior que 1 tem módulo menor que 1 e conserva o sinal.)
  • Consequentemente -\frac{1}{a} é positivo e está entre 0 e 1: 0<-\frac{1}{a}<1.
  • Como 0<b<1, b é positivo e b<1.
  • Então \frac{1}{b}>1.
  • E -b é negativo com -1< -b <0.
  • E -\frac{1}{b}<-1 (pois \frac{1}{b}>1, seu negativo fica abaixo de -1).
Resumo dos intervalos já obtidos:
-\frac{1}{b} < -1,\quad a < -1,\quad -1<\frac{1}{a}<0,\quad -1< -b <0,\quad 0<b<1,\quad 0< -\frac{1}{a}<1,\quad -a>1,\quad \frac{1}{b}>1.

Passo 3

Agora vamos usar a desigualdade extra ab+1>0, que é crucial. Vou manipular essa desigualdade de formas úteis, explicando cada passo e por que podemos dividir pelos números envolvidos.
Começo com
ab+1>0 \iff ab>-1.
Como b>0, ao dividir por b a direção da desigualdade não muda:
ab>-1 \implies a > -\frac{1}{b}.
Isto nos dá uma ordem entre a e -\frac{1}{b}: -\frac{1}{b} < a. (Explicação: dividir por número positivo preserva o sinal da desigualdade.)
Também podemos dividir ab>-1 por a, mas atenção: a é negativo, então ao dividir por a a desigualdade inverte:
ab>-1 \implies b < -\frac{1}{a}.
Multiplicando por -1 nessa última desigualdade (que inverte o sinal) obtemos
-b > \frac{1}{a}.
Resumindo as desigualdades derivadas de ab>-1:
-\frac{1}{b} < a \quad\text{e}\quad b < -\frac{1}{a} \quad\text{(equivalente a }\frac{1}{a}< -b\text{).}

Passo 4

Vamos organizar o que já temos em blocos (números muito negativos, entre -1 e 0, entre 0 e 1, e maiores que 1).
Bloco 1: valores menores que -1.
  • Sabemos que -\frac{1}{b} < -1 e também de Passo 3 temos -\frac{1}{b} < a e sabemos a<-1. Portanto, entre os valores menores que -1 temos a ordem
-\frac{1}{b} < a < -1.
(Explicação: -\frac{1}{b} é estritamente menor que a por a>-\frac{1}{b} e a é estritamente menor que -1 por hipótese.)
Bloco 2: valores entre -1 e 0.
  • Já vimos que \frac{1}{a} e -b estão em (-1,0).
  • De Passo 3 obtemos \frac{1}{a} < -b.
  • Então a ordem dentro de (-1,0) é
-1 < \frac{1}{a} < -b < 0.
(Explicação: \frac{1}{a} é mais negativo que -b porque deduzimos \frac{1}{a} < -b.)
Bloco 3: valores entre 0 e 1.
  • Temos 0< -\frac{1}{a} <1 e 0<b<1.
  • De Passo 3 temos b < -\frac{1}{a}.
  • Assim, no intervalo (0,1) a ordem é
0 < b < -\frac{1}{a} < 1.
Bloco 4: valores maiores que 1.
  • Temos -a>1 e \frac{1}{b}>1.
  • Ainda de Passo 3 podemos obter relação entre -a e \frac{1}{b}. Reescrevendo ab>-1 como (-a)b<1 (multiplicando por -1), e dividindo por b>0, obtemos
-a < \frac{1}{b}.
Portanto, entre os maiores que 1 vem primeiro -a e depois \frac{1}{b}:
1 < -a < \frac{1}{b}.

Passo 5

Agora juntamos os quatro blocos em sequência crescente, verificando a continuidade entre eles.
Dos blocos obtidos:
  • Menores que -1: -\frac{1}{b} < a < -1.
  • Entre -1 e 0: -1 < \frac{1}{a} < -b < 0.
  • Entre 0 e 1: 0 < b < -\frac{1}{a} < 1.
  • Maiores que 1: 1 < -a < \frac{1}{b}.
Como cada bloco termina e o próximo começa exatamente nos pontos -1,0,1 que são respectivamente maiores do anterior e menores do seguinte, podemos concatená-los sem quebra na ordem crescente total.

Passo 6

Escrevendo a ordenação completa em ordem crescente (do menor para o maior), juntando os blocos na sequência correta, obtemos a cadeia:
-\frac{1}{b} < a < -1 < \frac{1}{a} < -b < 0 < b < -\frac{1}{a} < 1 < -a < \frac{1}{b}.

Resposta

-\frac{1}{b} < a < -1 < \frac{1}{a} < -b < 0 < b < -\frac{1}{a} < 1 < -a < \frac{1}{b}

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