Expanda as seguintes expressões:
(a+2)(a-2)\left(a^{2}+4\right)

Passo 1

O enunciado pede para expandir a expressão (a+2)(a-2)\left(a^{2}+4\right).
Informações dadas: os três fatores são (a+2), (a-2) e \left(a^{2}+4\right).
Objetivo claro: multiplicar esses fatores e escrever o resultado como um polinômio em a.

Passo 2

Vamos primeiro multiplicar os dois primeiros fatores (a+2)(a-2). Para isso é útil lembrar a identidade básica (mostro por que ela vale): para quaisquer números x e y,
(x+y)(x-y)=x^{2}-y^{2}.
Prova rápida (distributiva):
(x+y)(x-y)=x(x-y)+y(x-y)=x^{2}-xy+xy-y^{2}=x^{2}-y^{2}.
Agora aplicamos com x=a e y=2:
(a+2)(a-2)=a^{2}-2^{2}=a^{2}-4.

Passo 3

Agora substituímos o produto que acabamos de calcular dentro da expressão original, ficando
(a+2)(a-2)\left(a^{2}+4\right)=(a^{2}-4)\left(a^{2}+4\right).
Repare que de novo temos um produto da forma (X-Y)(X+Y) com X=a^{2} e Y=4. Pelo mesmo motivo que usei antes,
(X-Y)(X+Y)=X^{2}-Y^{2},
então com X=a^{2} e Y=4 obtemos
(a^{2}-4)(a^{2}+4)=(a^{2})^{2}-4^{2}=a^{4}-16.

Passo 4

Se você preferir ver via distributiva (passo a passo de multiplicação), faço também para ficar bem claro:
(a^{2}-4)(a^{2}+4)=a^{2}\cdot(a^{2}+4)-4\cdot(a^{2}+4).
Calculando cada termo:
a^{2}\cdot(a^{2}+4)=a^{4}+4a^{2},
-4\cdot(a^{2}+4)=-4a^{2}-16.
Somando:
a^{4}+4a^{2}-4a^{2}-16=a^{4}-16.
Note que os termos +4a^{2} e -4a^{2} se cancelam — por isso o resultado fica mais simples.

Passo 5

Pequeno exemplo análogo para fixar: se tivéssemos (x+3)(x-3)(x^{2}+9), pelos mesmos motivos daria (x^{2}-9)(x^{2}+9)=x^{4}-81. Ou seja, a mesma técnica vale trocando a por qualquer variável e 2 por qualquer número.

Resposta

a^{4}-16

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