Exercício 0.14 Resolva as inequações abaixo
x^{2}+1<2 x^{2}-3 \leq-5 x.

Passo 1

O enunciado pede resolver a cadeia de inequações
x^{2}+1<2 x^{2}-3 \leq-5 x.
As perguntas implícitas são: quais valores de x\in\mathbb{R} satisfazem simultaneamente ambas as desigualdades da cadeia? Vou listar as informações dadas:
  • Há duas desigualdades ligadas em cadeia:
    • Desigualdade (A): x^{2}+1<2 x^{2}-3.
    • Desigualdade (B): 2 x^{2}-3\leq-5 x.
  • Procura-se o conjunto de x que satisfaz (A) e (B) ao mesmo tempo.

Passo 2

Resolveremos primeiro a desigualdade (A). Escrevendo-a de forma conveniente:
x^{2}+1<2 x^{2}-3.
Subtrai-se x^{2} e adiciona-se 3 aos dois lados para reunir termos:
0<x^{2}-4.
Ou seja, precisamos de
x^{2}-4>0.
Fatorando o lado esquerdo (diferença de quadrados):
x^{2}-4=(x-2)(x+2).
Agora explico como interpretar uma desigualdade do tipo (x-2)(x+2)>0: os zeros do polinômio são x=2 e x=-2. Como o coeficiente de x^{2} é positivo, a parábola associada abre para cima, portanto o produto é positivo fora das raízes e negativo entre elas. Logo a solução de (A) é
x<-2\quad\text{ou}\quad x>2.

Passo 3

Agora resolvemos a desigualdade (B):
2 x^{2}-3\leq-5 x.
Reunimos todos os termos no lado esquerdo:
2 x^{2}+5 x-3\leq0.
Isto é uma inequação quadrática. Para resolvê-la, primeiro encontramos as raízes da equação quadrática associada 2x^{2}+5x-3=0. Usamos a fórmula quadrática
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a},
onde a=2, b=5, c=-3 e o discriminante é \Delta=b^{2}-4ac. Calculando \Delta:
\Delta=5^{2}-4\cdot2\cdot(-3)=25+24=49.
Portanto \sqrt{\Delta}=7 e as raízes são
x=\frac{-5\pm7}{4}.
Isso dá as duas raízes
x=\frac{-5-7}{4}=\frac{-12}{4}=-3 \qquad\text{e}\qquad x=\frac{-5+7}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.

Passo 4

Interpretando a desigualdade \,2x^{2}+5x-3\leq0: o coeficiente a=2 é positivo, então a parábola abre para cima e a expressão é menor ou igual a zero entre as raízes (incluindo as raízes por causa do \leq). Logo a solução de (B) é
-3\leq x\leq\frac{1}{2}.

Passo 5

Agora precisamos da interseção das soluções de (A) e (B), pois a cadeia exige que ambas sejam verdadeiras simultaneamente.
  • Solução de (A): x<-2 ou x>2.
  • Solução de (B): -3\leq x\leq\dfrac{1}{2}.
Interseção:
  • Componente 1: (x<-2)\cap\left(-3\leq x\leq\dfrac{1}{2}\right) -3\leq x<-2, isto é [ -3,-2 ).
  • Componente 2: (x>2)\cap\left(-3\leq x\leq\dfrac{1}{2}\right) é vazia, porque não há x>2 dentro de \left[-3,\tfrac{1}{2}\right].
Portanto a interseção total é
[-3,-2).

Passo 6

Verificação rápida de ponta a ponta (para garantir inclusões/exclusões corretas):
  • Em x=-3: (A) \Rightarrow 9+1<18-3 isto é 10<15 verdadeiro; (B) 18-3\leq15 isto é 15\leq15 verdadeiro — então -3 deve pertencer ao conjunto (está incluído).
  • Em x=-2: (A) dá 4+1<8-3 isto é 5<5 falso (igualdade), logo -2 não pode pertencer (está excluído). Isso confirma o intervalo com extremidade direita aberta.

Resposta

[ -3,-2 )

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