Exercício 0.14 Resolva as inequações abaixo
.
Passo 1
O enunciado pede resolver a cadeia de inequações
As perguntas implícitas são: quais valores de
satisfazem simultaneamente ambas as desigualdades da cadeia? Vou listar as informações dadas:
- Há duas desigualdades ligadas em cadeia:
- Desigualdade (A):
. - Desigualdade (B):
.
- Desigualdade (A):
- Procura-se o conjunto de
que satisfaz (A) e (B) ao mesmo tempo.
Passo 2
Resolveremos primeiro a desigualdade (A). Escrevendo-a de forma conveniente:
Subtrai-se
e adiciona-se
aos dois lados para reunir termos:
Ou seja, precisamos de
Fatorando o lado esquerdo (diferença de quadrados):
Agora explico como interpretar uma desigualdade do tipo
: os zeros do polinômio são
e
. Como o coeficiente de
é positivo, a parábola associada abre para cima, portanto o produto é positivo fora das raízes e negativo entre elas. Logo a solução de (A) é
Passo 3
Agora resolvemos a desigualdade (B):
Reunimos todos os termos no lado esquerdo:
Isto é uma inequação quadrática. Para resolvê-la, primeiro encontramos as raízes da equação quadrática associada
. Usamos a fórmula quadrática
onde
,
,
e o discriminante é
. Calculando
:
Portanto
e as raízes são
Isso dá as duas raízes
Passo 4
Interpretando a desigualdade
: o coeficiente
é positivo, então a parábola abre para cima e a expressão é menor ou igual a zero entre as raízes (incluindo as raízes por causa do
). Logo a solução de (B) é
Passo 5
Agora precisamos da interseção das soluções de (A) e (B), pois a cadeia exige que ambas sejam verdadeiras simultaneamente.
- Solução de (A):
ou . - Solução de (B):
.
Interseção:
- Componente 1:
dá , isto é . - Componente 2:
é vazia, porque não há dentro de .
Portanto a interseção total é
Passo 6
Verificação rápida de ponta a ponta (para garantir inclusões/exclusões corretas):
- Em
: (A) isto é verdadeiro; (B) isto é verdadeiro — então deve pertencer ao conjunto (está incluído). - Em
: (A) dá isto é falso (igualdade), logo não pode pertencer (está excluído). Isso confirma o intervalo com extremidade direita aberta.