Exercício 0.11 Num triângulo isósceles de base 6 cm e altura 4 cm está inscrito um retângulo. Determine o retângulo de área máxima, sabendo que a base do retângulo está sobre a base do triângulo.

Passo 1

O enunciado dá um triângulo isósceles cuja base mede 6\\ \text{cm} e cuja altura mede 4\\ \text{cm}. Nesse triângulo está inscrito um retângulo cuja base está sobre a base do triângulo.
O que se pede: determinar as dimensões do retângulo que tornam sua área máxima e calcular essa área máxima.
Informações relevantes dadas:
  • base do triângulo: 6\\ \text{cm};
  • altura do triângulo: 4\\ \text{cm};
  • o retângulo tem a base apoiada sobre a base do triângulo (os lados verticais do retângulo tocam os lados do triângulo).

Passo 2

Escolha de coordenadas e parâmetros (isso facilita as contas). Coloco o triângulo com a base ao longo do eixo x, centrado na origem, e o vértice superior no eixo y. Assim os vértices da base ficam em (-3,0) e (3,0) e o vértice superior em (0,4) (porque a base total é 6 e metade dela é 3).
Descrevo o retângulo por duas variáveis fáceis:
  • altura do retângulo: y (medida a partir da base do triângulo; 0\le y\le 4);
  • largura (base) do retângulo: w.
    Por simetria, o retângulo ficará centrado, com lados verticais em x=-\tfrac{w}{2} e x=+\tfrac{w}{2}.

Passo 3

Relacionando w e y usando semelhança de triângulos.
No triângulo, a largura total disponível a uma altura y acima da base diminui linearmente de 6 (quando y=0) até 0 (quando y=4). A razão é diretamente proporcional à distância até o vértice. Logo a largura do triângulo à altura y é
w(y)=6\left(1-\frac{y}{4}\right).
Explicação detalhada da semelhança: metade da largura na base é 3. A uma altura y a metade da largura é proporcional à fração restante da altura, isto é 3\cdot\bigl(1-\tfrac{y}{4}\bigr). Multiplicando por 2 obtemos w(y)=6(1-\tfrac{y}{4}). Como os lados do retângulo são verticais, sua largura deve ser exatamente essa largura do triângulo no nível y.

Passo 4

Escrever a área do retângulo em função de y. A área é altura vezes largura, portanto
A(y)=y\cdot w(y)=y\cdot 6\left(1-\frac{y}{4}\right).
Simplificando:
A(y)=6y-\frac{3}{2}y^{2}.

Passo 5

Analisar A(y) para achar o máximo. Observação: A(y) é um polinômio quadrático em y com coeficiente de y^{2} negativo ( -\tfrac{3}{2}), logo é uma parábola voltada para baixo e tem um único máximo em seu vértice. Podemos encontrar o vértice usando a fórmula da abscissa do vértice para A(y)=ay^{2}+by+c, que é y=-\dfrac{b}{2a}. Aqui escrevemos A(y)=-\tfrac{3}{2}y^{2}+6y, então
  • a=-\tfrac{3}{2},
  • b=6.
    Portanto
y_{\text{máx}}=-\frac{b}{2a}=-\frac{6}{2\cdot\left(-\tfrac{3}{2}\right)}=2.á

Passo 6

Encontrar a largura correspondente e a área máxima. Substituo y=2 em w(y):
w(2)=6\left(1-\frac{2}{4}\right)=6\left(1-\frac{1}{2}\right)=6\cdot\frac{1}{2}=3.
A área correspondente é
A(2)=6\cdot 2-\frac{3}{2}\cdot 2^{2}=12-\frac{3}{2}\cdot 4=12-6=6.
Verificação rápida das bordas: A(0)=0 e A(4)=0, então o máximo interior y=2 é global no intervalo [0,4].

Passo 7

Interpretação final e conclusão didática: o retângulo de área máxima tem altura 2\\ \text{cm} (metade da altura do triângulo) e base 3\\ \text{cm} (metade da base do triângulo). A área máxima é 6\\ \text{cm}^{2}. Intuição: por simetria e semelhança, a melhor altura fica exatamente no meio da altura do triângulo para esse caso numérico, resultando num retângulo com proporções simples.

Resposta

\text{base do retângulo}=3\\ \text{cm}â
\text{altura do retângulo}=2\\ \text{cm}â
\text{área máxima}=6\\ \text{cm}^{2}áá

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