Exercício 0.11 Num triângulo isósceles de base 6 cm e altura 4 cm está inscrito um retângulo. Determine o retângulo de área máxima, sabendo que a base do retângulo está sobre a base do triângulo.
Passo 1
O enunciado dá um triângulo isósceles cuja base mede
e cuja altura mede
. Nesse triângulo está inscrito um retângulo cuja base está sobre a base do triângulo.
O que se pede: determinar as dimensões do retângulo que tornam sua área máxima e calcular essa área máxima.
Informações relevantes dadas:
O que se pede: determinar as dimensões do retângulo que tornam sua área máxima e calcular essa área máxima.
Informações relevantes dadas:
- base do triângulo:
; - altura do triângulo:
; - o retângulo tem a base apoiada sobre a base do triângulo (os lados verticais do retângulo tocam os lados do triângulo).
Passo 2
Escolha de coordenadas e parâmetros (isso facilita as contas). Coloco o triângulo com a base ao longo do eixo
, centrado na origem, e o vértice superior no eixo
. Assim os vértices da base ficam em
e
e o vértice superior em
(porque a base total é
e metade dela é
).
Descrevo o retângulo por duas variáveis fáceis:
Descrevo o retângulo por duas variáveis fáceis:
- altura do retângulo:
(medida a partir da base do triângulo; ); - largura (base) do retângulo:
.
Por simetria, o retângulo ficará centrado, com lados verticais eme .
Passo 3
Relacionando
e
usando semelhança de triângulos.
No triângulo, a largura total disponível a uma altura acima da base diminui linearmente de
(quando
) até
(quando
). A razão é diretamente proporcional à distância até o vértice. Logo a largura do triângulo à altura
é
No triângulo, a largura total disponível a uma altura
Explicação detalhada da semelhança: metade da largura na base é
. A uma altura
a metade da largura é proporcional à fração restante da altura, isto é
. Multiplicando por
obtemos
. Como os lados do retângulo são verticais, sua largura deve ser exatamente essa largura do triângulo no nível
.
Passo 4
Escrever a área do retângulo em função de
. A área é altura vezes largura, portanto
Simplificando:
Passo 5
Analisar
para achar o máximo. Observação:
é um polinômio quadrático em
com coeficiente de
negativo (
), logo é uma parábola voltada para baixo e tem um único máximo em seu vértice. Podemos encontrar o vértice usando a fórmula da abscissa do vértice para
, que é
. Aqui escrevemos
, então
-
, -
.
Portanto
Passo 6
Encontrar a largura correspondente e a área máxima. Substituo
em
:
A área correspondente é
Verificação rápida das bordas:
e
, então o máximo interior
é global no intervalo
.
Passo 7
Interpretação final e conclusão didática: o retângulo de área máxima tem altura
(metade da altura do triângulo) e base
(metade da base do triângulo). A área máxima é
. Intuição: por simetria e semelhança, a melhor altura fica exatamente no meio da altura do triângulo para esse caso numérico, resultando num retângulo com proporções simples.