Exercício 3.14 resolver
Determine a taxa de variação da função f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2} no ponto (1,0,1) na direção (3,4,0), utilizando a definição 3.7;

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}, o ponto (1,0,1) e a direção indicada pelo vetor (3,4,0). Pede-se: determinar a taxa de variação de f no ponto dado na direção do vetor (3,4,0) utilizando a definição 3.7.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função: f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}.
  • O ponto onde se avalia a taxa de variação: P=(1,0,1).
  • O vetor direção: v=(3,4,0).
  • Deve-se usar a definição 3.7 (a definição clássica do derivada direcional por limite).

Passo 2

Escrever a definição 3.7 (derivada direcional via limite) e explicar suas partes. A definição diz que, para um vetor unitário \,u, a derivada direcional de f em P na direção u é
D_{u}f(P)=\lim_{h\to 0}\frac{f(P+h\,u)-f(P)}{h}.
Explicando os símbolos:
  • P é o ponto (1,0,1) onde avaliamos a variação.
  • u é o vetor unitário na direção desejada (temos que normalizar v para obter u).
  • h é um número real que tende a zero; P+h\,u é o ponto ao longo da reta que parte de P na direção u.
  • A expressão \dfrac{f(P+h\,u)-f(P)}{h} mede a variação média de f por unidade de deslocamento ao longo da direção u; o limite quando h\to0 dá a taxa de variação instantânea (derivada direcional).
Observação intuitiva: precisa usar u unitário porque a derivada direcional é taxa por unidade de comprimento, não por unidade do parâmetro do vetor não-normalizado.

Passo 3

Normalizar o vetor direção v=(3,4,0) para obter o vetor unitário u. Calcular o módulo de v:
\|v\|=\sqrt{3^{2}+4^{2}+0^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.
Logo o vetor unitário na mesma direção é
u=\frac{1}{\|v\|}v=\frac{1}{5}(3,4,0)=\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5},0\right).

Passo 4

Aplicar a definição: considerar a função de uma variável \varphi(h)=f(P+h\,u). Primeiro escrever P+h\,u:
P+h\,u=\left(1+\frac{3}{5}h,\;0+\frac{4}{5}h,\;1+0\cdot h\right)=\left(1+\frac{3h}{5},\;\frac{4h}{5},\;1\right).
Agora substituir na função f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}:
\varphi(h)=f\!\left(1+\frac{3h}{5},\frac{4h}{5},1\right) =\left(1+\frac{3h}{5}\right)^{2}+\left(\frac{4h}{5}\right)^{2}+1^{2}.

Passo 5

Expandir e simplificar \varphi(h) passo a passo.
Calcular cada termo:
\left(1+\frac{3h}{5}\right)^{2}=1+2\cdot\frac{3h}{5}+\left(\frac{3h}{5}\right)^{2}=1+\frac{6h}{5}+\frac{9h^{2}}{25},
\left(\frac{4h}{5}\right)^{2}=\frac{16h^{2}}{25},
e 1^{2}=1. Somando:
\varphi(h)=\left(1+\frac{6h}{5}+\frac{9h^{2}}{25}\right)+\frac{16h^{2}}{25}+1 =2+\frac{6h}{5}+\frac{9h^{2}+16h^{2}}{25}.
Como 9h^{2}+16h^{2}=25h^{2}, isso dá
\varphi(h)=2+\frac{6h}{5}+h^{2}.

Passo 6

Calcular o quociente do limite da definição e tomar o limite quando h\to0. Primeiro f(P)=f(1,0,1)=1^{2}+0^{2}+1^{2}=2. Então
\frac{f(P+h\,u)-f(P)}{h}=\frac{\varphi(h)-2}{h}=\frac{\left(2+\dfrac{6h}{5}+h^{2}\right)-2}{h} =\frac{\dfrac{6h}{5}+h^{2}}{h}=\frac{6}{5}+h.
Agora tomar o limite quando h\to0:
D_{u}f(P)=\lim_{h\to0}\left(\frac{6}{5}+h\right)=\frac{6}{5}.

Passo 7

Interpretação e checagem rápida por outro método (cheque, não substituição da exigência do enunciado). A resposta \dfrac{6}{5} significa que, ao mover-se a partir do ponto P na direção de v, por cada unidade de comprimento movida nessa direção a função f aumenta, instantaneamente, à taxa \dfrac{6}{5}. Como verificação, a fórmula prática diz que, para funções diferenciáveis, a derivada direcional é \nabla f(P)\cdot u. Calcular \nabla f(x,y,z)=(2x,2y,2z), assim \nabla f(1,0,1)=(2,0,2). Fazendo o produto escalar com u=(\tfrac{3}{5},\tfrac{4}{5},0):
\nabla f(1,0,1)\cdot u = (2,0,2)\cdot\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5},0\right)=2\cdot\frac{3}{5}+0\cdot\frac{4}{5}+2\cdot 0=\frac{6}{5}.
Resultado coerente com o cálculo pelo limite.

Resposta

\dfrac{6}{5}

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