Exercício 3.14 resolver
Determine a taxa de variação da função
no ponto
na direção
, utilizando a definição 3.7;
Determine a taxa de variação da função
Passo 1
O enunciado dá a função
, o ponto
e a direção indicada pelo vetor
. Pede-se: determinar a taxa de variação de
no ponto dado na direção do vetor
utilizando a definição 3.7.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função:
. - O ponto onde se avalia a taxa de variação:
. - O vetor direção:
. - Deve-se usar a definição 3.7 (a definição clássica do derivada direcional por limite).
Passo 2
Escrever a definição 3.7 (derivada direcional via limite) e explicar suas partes. A definição diz que, para um vetor unitário
, a derivada direcional de
em
na direção
é
Explicando os símbolos:
-
é o ponto onde avaliamos a variação. -
é o vetor unitário na direção desejada (temos que normalizar para obter ). -
é um número real que tende a zero; é o ponto ao longo da reta que parte de na direção . - A expressão
mede a variação média de por unidade de deslocamento ao longo da direção ; o limite quando dá a taxa de variação instantânea (derivada direcional).
Observação intuitiva: precisa usar
unitário porque a derivada direcional é taxa por unidade de comprimento, não por unidade do parâmetro do vetor não-normalizado.
Passo 3
Normalizar o vetor direção
para obter o vetor unitário
. Calcular o módulo de
:
Logo o vetor unitário na mesma direção é
Passo 4
Aplicar a definição: considerar a função de uma variável
. Primeiro escrever
:
Agora substituir na função
:
Passo 5
Expandir e simplificar
passo a passo.
Calcular cada termo:
Calcular cada termo:
e
. Somando:
Como
, isso dá
Passo 6
Calcular o quociente do limite da definição e tomar o limite quando
. Primeiro
. Então
Agora tomar o limite quando
:
Passo 7
Interpretação e checagem rápida por outro método (cheque, não substituição da exigência do enunciado). A resposta
significa que, ao mover-se a partir do ponto
na direção de
, por cada unidade de comprimento movida nessa direção a função
aumenta, instantaneamente, à taxa
. Como verificação, a fórmula prática diz que, para funções diferenciáveis, a derivada direcional é
. Calcular
, assim
. Fazendo o produto escalar com
:
Resultado coerente com o cálculo pelo limite.