Exerććcio 3.11 Calcule a derivada da função
- No ponto
na direção
,
Passo 1
O enunciado dá a função
, o ponto
e a direção
.
A pergunta é: calcular a derivada direcional de no ponto
na direção dada por
.
A pergunta é: calcular a derivada direcional de
Passo 2
Conceito e fórmula que vou usar (explicando cada símbolo). A derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor unitário
é dada por
Aqui:
-
é o gradiente de em , i.e., o vetor das derivadas parciais . - O produto escalar ``
’’ entre dois vetores e é .
Importante: essa fórmula exige queseja um vetor unitário. Se não for, primeiro normaliza-se dividindo pelo seu comprimento.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
. Vou tratar uma variável por vez, lembrando as regras básicas:
- Derivada de
em relação a é ; de é . - Ao derivar um produto, a parte que depende da variável é diferenciada e a outra parte fica como multiplicadora.
Derivada parcial em relação a
:
Cada termo:
-
(tratando como constante); -
; -
.
Logo
Derivada parcial em relação a
:
Cada termo:
-
; -
; -
.
Logo
Passo 4
Avaliar as derivadas parciais no ponto
. Substituindo
e
:
Para
:
Para
:
Portanto o gradiente no ponto é
Passo 5
Verificar se
é unitário. Calcular o comprimento:
Como
, podemos usar
diretamente (não é necessário normalizar).
Passo 6
Calcular a derivada direcional pelo produto escalar:
Fazendo o produto escalar: