Exerććcio 3.11 Calcule a derivada da função z=x y+x^{3} y+x y^{3}
  1. No ponto (1,1) na direção u=\left(\frac{3}{5}, \frac{-4}{5}\right),

Passo 1

O enunciado dá a função \,z(x,y)=x y + x^{3}y + x y^{3}\,, o ponto \,(1,1)\, e a direção \,u=\left(\dfrac{3}{5},\dfrac{-4}{5}\right)\,.
A pergunta é: calcular a derivada direcional de z no ponto (1,1) na direção dada por u.

Passo 2

Conceito e fórmula que vou usar (explicando cada símbolo). A derivada direcional de z no ponto \mathbf{a}=(x_0,y_0) na direção do vetor unitário \mathbf{u} é dada por
D_{\mathbf{u}} z(\mathbf{a}) = \nabla z(\mathbf{a}) \cdot \mathbf{u}.
Aqui:
  • \nabla z(\mathbf{a}) é o gradiente de z em \mathbf{a}, i.e., o vetor das derivadas parciais \left(\dfrac{\partial z}{\partial x}(\mathbf{a}),\dfrac{\partial z}{\partial y}(\mathbf{a})\right).
  • O produto escalar `` \cdot’’ entre dois vetores (A,B) e (C,D) é A\cdot C + B\cdot D.
    Importante: essa fórmula exige que \mathbf{u} seja um vetor unitário. Se não for, primeiro normaliza-se \mathbf{u} dividindo pelo seu comprimento.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de z(x,y). Vou tratar uma variável por vez, lembrando as regras básicas:
  • Derivada de x em relação a x é 1; de x^n é n x^{n-1}.
  • Ao derivar um produto, a parte que depende da variável é diferenciada e a outra parte fica como multiplicadora.
Derivada parcial em relação a x:
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\big(xy\big) + \frac{\partial}{\partial x}\big(x^3 y\big) + \frac{\partial}{\partial x}\big(x y^3\big).
Cada termo:
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(x y)=y (tratando y como constante);
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(x^3 y)=3x^{2}y;
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(x y^{3})=y^{3}.
    Logo
\frac{\partial z}{\partial x}=y + 3x^{2}y + y^{3}.
Derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\big(xy\big) + \frac{\partial}{\partial y}\big(x^3 y\big) + \frac{\partial}{\partial y}\big(x y^3\big).
Cada termo:
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(x y)=x;
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(x^3 y)=x^{3};
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(x y^{3})=3x y^{2}.
    Logo
\frac{\partial z}{\partial y}=x + x^{3} + 3x y^{2}.

Passo 4

Avaliar as derivadas parciais no ponto (1,1). Substituindo x=1 e y=1:
Para \dfrac{\partial z}{\partial x}(1,1):
\frac{\partial z}{\partial x}(1,1)=1 + 3\cdot1^{2}\cdot1 + 1^{3}=1+3+1=5.
Para \dfrac{\partial z}{\partial y}(1,1):
\frac{\partial z}{\partial y}(1,1)=1 + 1^{3} + 3\cdot1\cdot1^{2}=1+1+3=5.
Portanto o gradiente no ponto é
\displaystyle \nabla z(1,1) = (5,\,5).

Passo 5

Verificar se \mathbf{u} é unitário. Calcular o comprimento:
\|\mathbf{u}\|=\sqrt{\left(\tfrac{3}{5}\right)^{2}+\left(\tfrac{-4}{5}\right)^{2}} =\sqrt{\tfrac{9}{25}+\tfrac{16}{25}}=\sqrt{\tfrac{25}{25}}=1.
Como \|\mathbf{u}\|=1, podemos usar \mathbf{u} diretamente (não é necessário normalizar).

Passo 6

Calcular a derivada direcional pelo produto escalar:
D_{\mathbf{u}} z(1,1)=\nabla z(1,1)\cdot \mathbf{u} = (5,5)\cdot\left(\tfrac{3}{5},\tfrac{-4}{5}\right).
Fazendo o produto escalar:
D_{\mathbf{u}} z(1,1) = 5\cdot \tfrac{3}{5} + 5\cdot \tfrac{-4}{5} = 3 - 4 = -1.

Resposta

-1

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