Exerććcio 3.11 Calcule a derivada da função
2. No ponto
na direção
,
2. No ponto
Passo 1
O enunciado dá a função
, o ponto onde queremos a derivada
e a direção
.
O que se pede: calcular a derivada direcional de no ponto
na direção
.
O que se pede: calcular a derivada direcional de
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar. A derivada direcional de uma função
no ponto
na direção de um vetor unitário
é dada por
onde
é o gradiente, isto é, o vetor das derivadas parciais:
Explicando devagar:
é a derivada de
em relação a
mantendo
fixo;
é análoga, mantendo
fixo. Para aplicar a fórmula precisamos:
- calcular as derivadas parciais simbólicas de
; - avaliar essas parciais em
; - verificar (e, se necessário, normalizar) o vetor direção
; - fazer o produto escalar
.
Passo 3
Calcular
passo a passo. Tomando
, derivamos termo a termo em relação a
, lembrando que
é tratado como constante:
- Para
: derivada em relação a é . - Para
: é constante, derivada é (regra da potência: ). - Para
: é constante, derivada é .
Somando,
Passo 4
Calcular
passo a passo. Derivando termo a termo em relação a
, com
constante:
- Para
: derivada é . - Para
: derivada é . - Para
: aplicar regra da potência em : derivada é (porque é constante multiplicando).
Somando,
Passo 5
Avaliar as parciais no ponto
. Substituindo
e
nas expressões encontradas:
Portanto o gradiente no ponto é
Passo 6
Verificar o vetor direção
. Calculamos a norma para confirmar que é unitário:
Como
já é unitário, podemos usar diretamente a fórmula do Passo 2. Fazendo o produto escalar:
Passo 7
Interpretação breve e dica para a prova: a derivada direcional numa direção unitária mede a variação instantânea de
ao longo daquela direção. Na prática, calcule as parciais, forme o gradiente, confirme que a direção é unitária (senão normalize) e faça o produto escalar. Aqui deu um número inteiro bonito:
. Vai com fé — você consegue aplicar esse passo a passo na prova.