Exerććcio 3.11 Calcule a derivada da função z=x y+x^{3} y+x y^{3}
2. No ponto (1,1) na direção u=\left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right),

Passo 1

O enunciado dá a função z = x y + x^{3} y + x y^{3}, o ponto onde queremos a derivada (1,1) e a direção \mathbf{u}=\left(\tfrac{3}{5},\tfrac{4}{5}\right).
O que se pede: calcular a derivada direcional de z no ponto (1,1) na direção \mathbf{u}.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar. A derivada direcional de uma função f(x,y) no ponto \mathbf{a}=(a_1,a_2) na direção de um vetor unitário \mathbf{u}=(u_1,u_2) é dada por
D_{\mathbf{u}}f(\mathbf{a})=\nabla f(\mathbf{a})\cdot\mathbf{u},
onde \nabla f é o gradiente, isto é, o vetor das derivadas parciais:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),\;\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right).
Explicando devagar: \frac{\partial f}{\partial x} é a derivada de f em relação a x mantendo y fixo; \frac{\partial f}{\partial y} é análoga, mantendo x fixo. Para aplicar a fórmula precisamos:
  1. calcular as derivadas parciais simbólicas de z;
  2. avaliar essas parciais em (1,1);
  3. verificar (e, se necessário, normalizar) o vetor direção \mathbf{u};
  4. fazer o produto escalar \nabla f(1,1)\cdot\mathbf{u}.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial z}{\partial x} passo a passo. Tomando z(x,y)=x y + x^{3} y + x y^{3}, derivamos termo a termo em relação a x, lembrando que y é tratado como constante:
  • Para x y: derivada em relação a x é y.
  • Para x^{3} y: y é constante, derivada é 3x^{2}y (regra da potência: \frac{d}{dx}x^{3}=3x^{2}).
  • Para x y^{3}: y^{3} é constante, derivada é y^{3}.
    Somando,
\frac{\partial z}{\partial x}(x,y)=y+3x^{2}y+y^{3}.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial z}{\partial y} passo a passo. Derivando termo a termo em relação a y, com x constante:
  • Para x y: derivada é x.
  • Para x^{3} y: derivada é x^{3}.
  • Para x y^{3}: aplicar regra da potência em y^{3}: derivada é 3x y^{2} (porque x é constante multiplicando).
    Somando,
\frac{\partial z}{\partial y}(x,y)=x+x^{3}+3x y^{2}.

Passo 5

Avaliar as parciais no ponto (1,1). Substituindo x=1 e y=1 nas expressões encontradas:
\frac{\partial z}{\partial x}(1,1)=1+3\cdot1^{2}\cdot1+1^{3}=1+3+1=5,
\frac{\partial z}{\partial y}(1,1)=1+1^{3}+3\cdot1\cdot1^{2}=1+1+3=5.
Portanto o gradiente no ponto é
\nabla z(1,1)=(5,5).

Passo 6

Verificar o vetor direção \mathbf{u}=\left(\tfrac{3}{5},\tfrac{4}{5}\right). Calculamos a norma para confirmar que é unitário:
\|\mathbf{u}\|=\sqrt{\left(\tfrac{3}{5}\right)^{2}+\left(\tfrac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\tfrac{9}{25}+\tfrac{16}{25}}=\sqrt{\tfrac{25}{25}}=1.
Como \mathbf{u} já é unitário, podemos usar diretamente a fórmula do Passo 2. Fazendo o produto escalar:
D_{\mathbf{u}}z(1,1)=\nabla z(1,1)\cdot\mathbf{u}= (5,5)\cdot\left(\tfrac{3}{5},\tfrac{4}{5}\right) =5\cdot\tfrac{3}{5}+5\cdot\tfrac{4}{5}=3+4=7.

Passo 7

Interpretação breve e dica para a prova: a derivada direcional numa direção unitária mede a variação instantânea de z ao longo daquela direção. Na prática, calcule as parciais, forme o gradiente, confirme que a direção é unitária (senão normalize) e faça o produto escalar. Aqui deu um número inteiro bonito: 7. Vai com fé — você consegue aplicar esse passo a passo na prova.

Resposta

7

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