Exercício 3.18 Encontre a direção na qual a função
2. decresce mais rapidamente no ponto
.
2. decresce mais rapidamente no ponto
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: encontrar a direção na qual
decresce mais rapidamente no ponto
.
Informações relevantes:
- A função é
. - O ponto onde devemos analisar é
. - O que se quer é a direção (vetor de direção, normalmente tomado como vetor unitário) em que a função diminui mais rapidamente naquele ponto.
Passo 2
Conceito chave (aula rápida e prática):
- Para uma função de duas variáveis
, a derivada direcional de no ponto na direção de um vetor unitário é dada por
onde
é o gradiente de
e
é o produto escalar.
- O gradiente
é o vetor formado pelas derivadas parciais:
- Propriedade importante (útil na prova): a derivada direcional
atinge seu valor máximo quando aponta na direção de , com valor máximo ; e atinge seu valor mínimo (ou seja, maior decrescimento) quando aponta na direção de , com valor mínimo . - Conclusão prática: a direção de decrescimento mais rápido é a direção oposta ao gradiente. Como costuma pedir-se um vetor unitário, normaliza-se
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
. Primeiro reescrevemos
de forma a facilitar a diferenciação:
Usamos a regra da cadeia: se
e
, então
Aqui
e
. Portanto
De maneira análoga,
Passo 4
Formamos o gradiente geral:
Agora avaliamos no ponto
. Primeiro calculamos o denominador:
Portanto
Passo 5
Pelo que vimos no Passo 2, a direção de decrescimento mais rápido é a direção de
. Calculamos esse vetor:
Geralmente pede-se a direção na forma de vetor unitário. Calculamos a norma de
(ou de
, mesma norma):
Passo 6
O vetor unitário na direção de
é
Portanto a direção (vetor unitário) em que
decresce mais rapidamente em
é
.
Passo 7
Curiosidade útil para a prova: a taxa de decrescimento máxima (valor da derivada direcional mínima) é
Isso confirma que na direção encontrada a função cai mais rápido, a uma taxa
.