Exercício 3.18 Encontre a direção na qual a função f(x, y)=\sqrt{6-x^{2}-y^{2}}
2. decresce mais rapidamente no ponto (1,1).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=\sqrt{6-x^{2}-y^{2}} e pede: encontrar a direção na qual f decresce mais rapidamente no ponto (1,1).
Informações relevantes:
  • A função é f(x,y)=\sqrt{6-x^{2}-y^{2}}.
  • O ponto onde devemos analisar é (1,1).
  • O que se quer é a direção (vetor de direção, normalmente tomado como vetor unitário) em que a função diminui mais rapidamente naquele ponto.

Passo 2

Conceito chave (aula rápida e prática):
  • Para uma função de duas variáveis f(x,y), a derivada direcional de f no ponto (x_0,y_0) na direção de um vetor unitário \mathbf{u}=(u_1,u_2) é dada por
D_{\mathbf{u}}f(x_0,y_0)=\nabla f(x_0,y_0)\cdot\mathbf{u},
onde \nabla f é o gradiente de f e \cdot é o produto escalar.
  • O gradiente \nabla f(x,y) é o vetor formado pelas derivadas parciais:
\nabla f(x,y)=\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y),\\ \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right).
  • Propriedade importante (útil na prova): a derivada direcional D_{\mathbf{u}}f atinge seu valor máximo quando \mathbf{u} aponta na direção de \nabla f, com valor máximo \|\nabla f\|; e atinge seu valor mínimo (ou seja, maior decrescimento) quando \mathbf{u} aponta na direção de -\nabla f, com valor mínimo -\|\nabla f\|.
  • Conclusão prática: a direção de decrescimento mais rápido é a direção oposta ao gradiente. Como costuma pedir-se um vetor unitário, normaliza-se -\nabla f.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de f(x,y)=\sqrt{6-x^{2}-y^{2}}. Primeiro reescrevemos f de forma a facilitar a diferenciação:
f(x,y)=(6-x^{2}-y^{2})^{1/2}.
Usamos a regra da cadeia: se g(t)=t^{1/2} e t(x,y)=6-x^{2}-y^{2}, então
\dfrac{\partial f}{\partial x} = g'(t)\cdot \dfrac{\partial t}{\partial x}.
Aqui g'(t)=\dfrac{1}{2}t^{-1/2} e \dfrac{\partial t}{\partial x}=-2x. Portanto
\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{1}{2}(6-x^{2}-y^{2})^{-1/2}\cdot(-2x)=-\dfrac{x}{\sqrt{6-x^{2}-y^{2}}}.
De maneira análoga,
\dfrac{\partial f}{\partial y}=-\dfrac{y}{\sqrt{6-x^{2}-y^{2}}}.

Passo 4

Formamos o gradiente geral:
\nabla f(x,y)=\left(-\dfrac{x}{\sqrt{6-x^{2}-y^{2}}},\\\ -\dfrac{y}{\sqrt{6-x^{2}-y^{2}}}\right).
Agora avaliamos no ponto (1,1). Primeiro calculamos o denominador:
\sqrt{6-1^{2}-1^{2}}=\sqrt{6-1-1}=\sqrt{4}=2.
Portanto
\nabla f(1,1)=\left(-\dfrac{1}{2},\\\ -\dfrac{1}{2}\right).

Passo 5

Pelo que vimos no Passo 2, a direção de decrescimento mais rápido é a direção de -\nabla f(1,1). Calculamos esse vetor:
-\nabla f(1,1)=\left(\dfrac{1}{2},\\ \dfrac{1}{2}\right).
Geralmente pede-se a direção na forma de vetor unitário. Calculamos a norma de \nabla f(1,1) (ou de -\nabla f(1,1), mesma norma):
\|\nabla f(1,1)\|=\sqrt{\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{2}+\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{2}} =\sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}}=\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}.

Passo 6

O vetor unitário na direção de -\nabla f(1,1) é
\mathbf{u}=\dfrac{-\nabla f(1,1)}{\|\nabla f(1,1)\|} =\dfrac{\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right)}{\tfrac{1}{\sqrt{2}}} =\left(\dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{2},\\ \dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{2}\right) =\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}},\\ \dfrac{1}{\sqrt{2}}\right).
Portanto a direção (vetor unitário) em que f decresce mais rapidamente em (1,1) é \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}},\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right).

Passo 7

Curiosidade útil para a prova: a taxa de decrescimento máxima (valor da derivada direcional mínima) é
D_{\mathbf{u}}f(1,1)=\nabla f(1,1)\cdot\mathbf{u}=-\|\nabla f(1,1)\|=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}.
Isso confirma que na direção encontrada a função cai mais rápido, a uma taxa -1/\sqrt{2}.

Resposta

\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}},\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)

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