Exercício 14. Seja F:[a, b] R^n contínua. Prove que existe M>0 tal que |F(t)| <= M em [a, b].
Exercício 15. Calcule d Fd t e d^2 Fd t^2

Passo 1

Resumo do Enunciado.
Temos vec Fcolon [a,b]to R^n contínua e queremos mostrar que existe M>0 tal que
|vec F(t)|<= M para todo tin[a,b]
O conteúdo que vamos usar é o Teorema de Weierstrass (ou Teorema do Valor Extremo): toda função contínua num intervalo compacto atinge máximo e mínimo.

Passo 2

Construção da função escalar.
Defina
gcolon [a,b]to R, g(t)=|vec F(t)|
Como a norma |cdot| é contínua em R^n e vec F é contínua em [a,b], a composição g(t)=|vec F(t)| é contínua em [a,b].

Passo 3

Aplicação do Teorema de Weierstrass.
O intervalo [a,b] é compacto. Pelo Teorema de Weierstrass, g atinge um valor máximo em algum t0in[a,b]. Ou seja, existe
M = g(t0) = maxtin[a,b] g(t)
tal que
g(t)<= M forall,tin[a,b]
Mas g(t)=|vec F(t)|, logo
|vec F(t)|<= M forall,tin[a,b]

Passo 4

Comentário sobre o Exercício 15.
Para calcular dfracdvec Fdt e dfracd^2vec Fdt^2 é preciso conhecer a fórmula explícita de vec F(t). O enunciado não fornece nenhuma expressão para vec F(t), apenas garante continuidade. Sem a forma de vec F(t), não há como efetuar a diferenciação.

Resposta

Exercício 14. Basta tomar
g(t)=|vec F(t)|,
aplicar Weierstrass para obter M=max[a,b]g(t) e então |vec F(t)|<= M.
Exercício 15. Impossível de resolver sem a expressão explícita de vec F(t).

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