Exercício 14. Seja
contínua. Prove que existe
tal que
em
.
Exercício 15. Calcule
e
Exercício 15. Calcule
Passo 1
Resumo do Enunciado.
Temos contínua e queremos mostrar que existe
tal que
Temos
O conteúdo que vamos usar é o Teorema de Weierstrass (ou Teorema do Valor Extremo): toda função contínua num intervalo compacto atinge máximo e mínimo.
Passo 2
Construção da função escalar.
Defina
Defina
Como a norma
é contínua em
e
é contínua em
, a composição
é contínua em
.
Passo 3
Aplicação do Teorema de Weierstrass.
O intervalo é compacto. Pelo Teorema de Weierstrass,
atinge um valor máximo em algum
. Ou seja, existe
O intervalo
tal que
Mas
, logo
Passo 4
Comentário sobre o Exercício 15.
Para calcular e
é preciso conhecer a fórmula explícita de
. O enunciado não fornece nenhuma expressão para
, apenas garante continuidade. Sem a forma de
, não há como efetuar a diferenciação.
Para calcular
Resposta
Exercício 14. Basta tomar
aplicar Weierstrass para obter
e então
.
Exercício 15. Impossível de resolver sem a expressão explícita de
.