Exercício 9. Calcule \int_{C} \vec{F} d r.
\vec{F}(x, y)=x^{2} \vec{i} e r(t)=\left(t^{2}, 3\right),-1 \leq t \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec r
onde
\vec{F}(x,y)=x^{2}\,\vec{i}
e a curva C está dada pela parametrização
\vec r(t)=(t^{2},3), com -1\le t\le1.
O conteúdo é integral de linha de campo vetorial usando parametrização; vamos precisar de \vec r'(t), de \vec F(\vec r(t)) e depois fazer o produto escalar e integrar em t.

Passo 2

Calculamos a derivada da parametrização:
\vec r'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(t^{2},3\bigr)=(2t,0).

Passo 3

Substituímos a parametrização em \vec{F}:
\vec F\bigl(\vec r(t)\bigr)=\vec F\bigl(t^{2},3\bigr)=\bigl((t^{2})^{2},0\bigr)=(t^{4},0).

Passo 4

Fazemos o produto escalar \vec F(\vec r(t))\cdot\vec r'(t):
(t^{4},0)\cdot(2t,0)=t^{4}\cdot2t=2\,t^{5}.

Passo 5

Agora integramos em t de -1 a 1:
\int_{C}\vec F\cdot d\vec r =\int_{-1}^{1}2\,t^{5}\,dt =2\int_{-1}^{1}t^{5}\,dt.
Como t^{5} é função ímpar, sua integral simétrica dá zero:
\int_{-1}^{1}t^{5}\,dt=0 \quad\Longrightarrow\quad 2\cdot0=0.

Resposta

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