Exercício 14 (S.5.14)

Seja f: R R uma função de classe C^1 tal que f(0)=0. Considere o sistema
x^prime prime+a x^prime+f(x)=0
Se a>0 e f(x) x>0, forall x neq 0, então 0 in R^2 é um ponto de equilíbrio estável para o sistema de primeira ordem, construído a partir da equação acima.
Sugestão: Tome V(x, y)=y^2+2 integral0^x f(s) d s.

Passo 1

O enunciado trata de transformar a equação de segunda ordem
x'' + a,x' + f(x) = 0,
com a>0 e f(x)x>0 para xneq0, num sistema de primeira ordem em R^2 e provar que o ponto de equilíbrio (0,0) é estável usando um método de Lyapunov. A sugestão é tomar a função
V(x,y) ;=; y^2 ;+; 2integral0^xf(s),ds

Passo 2

Definimos as variáveis de estado ,x1=x e ,x2=y=x'. O sistema equivalente em primeira ordem é
x1' = x2, x2' = -,a,x2 - f(x1)

Passo 3

Mostramos que V é positiva definida em torno de (0,0):
  1. Claramente ,V(0,0)=0.
  2. Se yneq0 então y^2>0, logo V(x,y)>0.
  3. Se y=0 mas xneq0, como f(s),s>0 para sneq0, então
integral0^xf(s),ds>0,
o que implica V(x,0)>0.

Passo 4

Calculamos a derivada de V ao longo das soluções do sistema:
ddtV(x1,x2) = partial Vpartial x1,x1' +partial Vpartial x2,x2'
Como partial V/partial x1=2,f(x1) e partial V/partial x2=2,x2, obtemos
ddtV = 2,f(x1),x2 +2,x2l(-a,x2-f(x1)r) = -,2,a,x2^2<=0

Passo 5

Temos que V é positiva definida e dot V<=0. Pelo Teorema de Lyapunov para estabilidade (não necessariamente assimptótica), o ponto (0,0) é estável.

Resposta

O ponto de equilíbrio (0,0) é estável.

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