Exercício 14 (S.5.14)
Seja
uma função de classe
tal que
. Considere o sistema
Se
e
, então
é um ponto de equilíbrio estável para o sistema de primeira ordem, construído a partir da equação acima.
Sugestão: Tome
.
Passo 1
O enunciado trata de transformar a equação de segunda ordem
com
e
para
, num sistema de primeira ordem em
e provar que o ponto de equilíbrio
é estável usando um método de Lyapunov. A sugestão é tomar a função
Passo 2
Definimos as variáveis de estado
e
. O sistema equivalente em primeira ordem é
Passo 3
Mostramos que
é positiva definida em torno de
:
- Claramente
. - Se
então , logo . - Se
mas , como para , então
o que implica
.
Passo 4
Calculamos a derivada de
ao longo das soluções do sistema:
Como
e
, obtemos
Passo 5
Temos que
é positiva definida e
. Pelo Teorema de Lyapunov para estabilidade (não necessariamente assimptótica), o ponto
é estável.
Resposta
O ponto de equilíbrio
é estável.