Exercício 6.8.15. Em \mathbb{R}^{3} com base canônica \mathcal{B}_{3}=\left\{\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}\right\}, seja A: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} o operador linear tal que
A\left(\mathbf{e}_{1}\right)=2 \mathbf{e}_{1}, A\left(\mathbf{e}_{2}\right)=\mathbf{e}_{3}, A\left(\mathbf{e}_{3}\right)=0
Calcular os autovalores e autovetores de A.

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e autovetores do operador linear A:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} dado em base canônica por
A(\mathbf e_{1})=2\mathbf e_{1},\quad A(\mathbf e_{2})=\mathbf e_{3},\quad A(\mathbf e_{3})=\mathbf 0.
Para resolver, vamos montar a matriz de A na base canônica, calcular o polinômio característico \det(A-\lambda I)=0 para achar os autovalores \lambda, e em seguida determinar os autoespaços \ker(A-\lambda I).

Passo 2

Como colunas de A são as imagens de \mathbf e_{1},\mathbf e_{2},\mathbf e_{3}, sua matriz em \mathcal B_{3} é
M = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 3

O polinômio característico é
\det(M-\lambda I) =\det\!\begin{pmatrix} 2-\lambda & 0 & 0\\\\ 0 & -\lambda & 0\\\\ 0 & 1 & -\lambda \end{pmatrix} =(2-\lambda)\,\det\!\begin{pmatrix}-\lambda & 0\\[6pt]1 & -\lambda\end{pmatrix} =(2-\lambda)\,\lambda^{2}.
Logo os autovalores são \lambda_{1}=2 (multiplicidade algébrica 1) e \lambda_{2}=0 (multiplicidade algébrica 2).]

Passo 4

Para \lambda=2 resolvemos
(M-2I)\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\\\ 0 & -2 & 0\\\\ 0 & 1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =\mathbf0.
As equações dão -2y=0 \Rightarrow y=0 e y-2z=0 \Rightarrow z=0, com x livre. Assim
E_{2}=\ker(M-2I)=\operatorname{span}\{(1,0,0)\}.

Passo 5

Para \lambda=0 resolvemos
M\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2x\\[3pt] 0\\[3pt] y \end{pmatrix} =\mathbf{0} \quad\Longrightarrow\quad x=0,\;y=0,\;z\text{ livre}.
Logo
E_{0}=\ker(M)=\operatorname{span}\{(0,0,1)\}.]

Resposta

O único autovalor com autovetor não nulo em cada caso é
\lambda=2,\quad v=(1,0,0); \qquad \lambda=0,\quad v=(0,0,1).

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