Exercício 6.8.16. Em \mathbb{R}^{2} com base canônica \mathcal{B}_{2}=\left\{\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}\right\}, seja A: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} o operador tal que
A\left(\mathbf{e}_{\mathbf{1}}\right)=a \mathbf{e}_{\mathbf{1}}+(b+1) \mathbf{e}_{\mathbf{2}}, A\left(\mathbf{e}_{\mathbf{2}}\right)=b \mathbf{e}_{\mathbf{1}}
Determinar a, b \in \mathbb{R} de modo tal que A tenha autovalores 2 e -1 e encontrar os correspondentes autovetores.

Passo 1

O enunciado dá um operador A\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 na base canônica \{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2\} tal que
A(\mathbf{e}_1)=a\,\mathbf{e}_1+(b+1)\,\mathbf{e}_2, \quad A(\mathbf{e}_2)=b\,\mathbf{e}_1.
Queremos escolher a,b\in\mathbb{R} para que A tenha autovalores 2 e -1 e, depois, encontrar os autovetores correspondentes.

Passo 2

Na base canônica, a matriz de A é
M=\begin{pmatrix} a & b\\\ b+1 & 0 \end{pmatrix}.
O polinômio característico é
\chi_M(\lambda) =\det(M-\lambda I) =\lambda^2-\mathrm{tr}(M)\,\lambda+\det(M) =\lambda^2-a\,\lambda-\,b(b+1).

Passo 3

Queremos
\chi_M(\lambda)=\bigl(\lambda-2\bigr)\bigl(\lambda+1\bigr) =\lambda^2-\lambda-2.
Comparando coeficientes:
-a=-1\implies a=1, \qquad -\,b(b+1)=-2\implies b^2+b-2=0\implies b\in\{1,\,-2\}.

Passo 4

Caso b=1. Então
M=\begin{pmatrix}1&1\\\ 2&0\end{pmatrix}.
Para \lambda=2, resolvemos (M-2I)v=0:
\begin{pmatrix}-1&1\\\ 2&-2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=0 \implies y=x,
logo os autovetores são \bigl(x,x\bigr)=t(1,1).
Para \lambda=-1, resolvemos (M+I)v=0:
\begin{pmatrix}2&1\\\ 2&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=0 \implies y=-2x,
logo v=t(1,-2).

Passo 5

Caso b=-2. Então
M=\begin{pmatrix}1&-2\\\ -1&0\end{pmatrix}.
Para \lambda=2, (M-2I)v=0
\begin{pmatrix}-1&-2\\\ -1&-2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=0 \implies x+2y=0,
logo v=t(-2,1) (ou t(2,-1)).
Para \lambda=-1, (M+I)v=0
\begin{pmatrix}2&-2\\\ -1&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=0 \implies x=y,
logo v=t(1,1).

Resposta

a=1 e b\in\{1,-2\}.
Para b=1:
\lambda=2 com autovetores t(1,1);
\lambda=-1 com autovetores t(1,-2).
Para b=-2:
\lambda=2 com autovetores t(2,-1);
\lambda=-1 com autovetores t(1,1).

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