Exercício 14. (D.K. ex. 2.2) Seja
phi in Cc^infty(R), phi neq 0 e 0 notin supp phi. Consideremos as seguintes sequências:
a) Para cada uma das sequências acima, mostre que, para cada x in R e para cada k in N0, a sequência (d^k phijd x^k(x))j converge para zero. Mostre que a convergência é uniforme no item iii).
b) Determine quais das sequências acima convergem a zero em Cc^infty(R).
i) phij(x)=1j phi(x-j).
ii) phij(x)=1j^p phi(j x), em que p in N.
iii) phij(x)=e^-j phi(j x).

Passo 1

O enunciado define três famílias de funções em a partir de uma com . Precisamos mostrar em cada caso e para todo , todo , que
e, no caso (iii), que essa convergência é uniforme em . Em seguida, veremos quais dessas sequências convergem a zero na topologia de , ou seja, existe um compacto que contém para grande e

Passo 2

Caso (i): .
Para derivadas de ordem vale
Fixe . Como é compacto e não contém , existe tal que sempre que . Para temos , logo . Assim para suficientemente grande, e portanto .

Passo 3

Caso (ii): .
Derivando vezes,
De novo, se com , então sempre que , isto é, para . Logo para cada vale a partir de certo , e em claramente . Assim .

Passo 4

Caso (iii): .
Derivando vezes,
Para cada fixo, e é limitada, logo .
Para uniformidade em , note
pois . Assim a convergência é uniforme.

Passo 5

Convergência em exige um compacto fixo contendo todas as (para grande) e para todo .
  • No caso (i), escapa para o infinito, não existe que contenha todos.
  • No caso (ii), embora para grande, temos
    , que só tende a zero se . Mas a topologia pede convergência para todo , o que falha para .
  • No caso (iii),
    e
    para todo .

Resposta

Só a sequência do item (iii) converge a zero em .

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