Exercício 14. (D.K. ex. 2.2) Seja
e
. Consideremos as seguintes sequências:
a) Para cada uma das sequências acima, mostre que, para cada
e para cada
, a sequência
converge para zero. Mostre que a convergência é uniforme no item iii).
b) Determine quais das sequências acima convergem a zero em
.
i)
.
ii)
, em que
.
iii)
.
a) Para cada uma das sequências acima, mostre que, para cada
b) Determine quais das sequências acima convergem a zero em
i)
ii)
iii)
Passo 1
O enunciado define três famílias de funções
em a partir de uma
com . Precisamos mostrar em cada caso e para todo , todo , que
e, no caso (iii), que essa convergência é uniforme em
. Em seguida, veremos quais dessas sequências convergem a zero na topologia de , ou seja, existe um compacto
que contém para
grande e
Passo 2
Caso (i):
.
Para derivadas de ordem vale
Para derivadas de ordem
Fixe
. Como é compacto e não contém
, existe
tal que
sempre que
. Para
temos
, logo
. Assim
para
suficientemente grande, e portanto
.
Passo 3
Caso (ii):
.
Derivando vezes,
Derivando
De novo, se com , então
sempre que
, isto é, para
. Logo para cada
vale
a partir de certo
, e em
claramente
. Assim
.
Passo 4
Caso (iii):
.
Derivando vezes,
Derivando
Para cada
fixo,
e
é limitada, logo
.
Para uniformidade em , note
Para uniformidade em
pois
. Assim a convergência é uniforme.
Passo 5
Convergência em exige um compacto fixo
contendo todas as (para
grande) e
para todo
.
- No caso (i), escapa para o infinito, não existe
que contenha todos. - No caso (ii), embora para
grande, temos
, que só tende a zero se . Mas a topologia pede convergência para todo , o que falha para . - No caso (iii),
e
para todo .
Resposta
Só a sequência do item (iii) converge a zero em .