Verifique quais das seguintes aplicações são lineares:
T: R^3 R^2 definida por T(x, y, z)=(2 x, 3 y-z)

Passo 1

O enunciado apresenta a aplicação
Tcolon R^3 to R^2, T(x,y,z) = (2x,;3y - z)
Queremos verificar se T é linear, isto é, se para quaisquer vetores u,vinR^3 e escalar ainR vale
  1. Aditividade: T(u+v)=T(u)+T(v).
  2. Homogeneidade: T(a,u)=a,T(u).

Passo 2

Verificação da aditividade.
Sejam
u = (x1,y1,z1), v = (x2,y2,z2)
Então
u+v = (x1+x2,;y1+y2,;z1+z2),
e
T(u+v) = l(2(x1+x2),;3(y1+y2)-(z1+z2)r) = (2x1+2x2,;3y1+3y2 - z1 - z2)
Por outro lado,
T(u) + T(v) = (2x1,;3y1 - z1) + (2x2,;3y2 - z2) = (2x1+2x2,;3y1+3y2 - z1 - z2)
Logo
T(u+v) = T(u) + T(v)

Passo 3

Verificação da homogeneidade.
Seja ainR e u=(x,y,z). Então
a,u = (a x,;a y,;a z),
e
T(a,u) = l(2(a x),;3(a y) - (a z)r) = (a,(2x),;a,(3y - z)) = a,(2x,;3y - z) = a,T(u)
Portanto
T(a,u) = a,T(u)

Resposta

A aplicação T é linear.

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