Exercício 9 (S.1.14)
Seja f: R times R^n R^n de classe C^1 e suponhamos que varphi: R R^n é a solução de
x^prime=f(t, x), x(t0)=x0
É possível que exista t1 neq t0 tal que varphi(t0)=varphi(t1), porém varphi^prime(t0) e varphi^prime(t1) são linearmente independentes?
Sugestão: Note que dd t(tsen(t))=t cos (t)+sen(t) e dd t(t^2 sen(t))=t^2 cos (t)+2 t sen(t). Seja varphi: R R^2 a solução de (*) com f: R times R^2 R^2 dada por
f(t,(x, y))=(t cos (t)+sen(t), t^2 cos (t)+2 t sen(t))
e condições iniciais (x(0), y(0))=(0,0). Calcule então varphi(pi), varphi(2 pi), varphi^prime(pi) e varphi^prime(2 pi).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar um exemplo em que existe tal que mas e são linearmente independentes. Para isso, usamos o sistema não-autônomo em
com condição inicial . Vamos primeiro encontrar por integração.

Passo 2

Como as componentes se separam, integramos cada uma:
Para x(t),
x(t)=integrall(tcos t+sin tr),dt
Integramos por partes em integral tcos t,dt e somamos integralsin t,dt:
integral tcos t,dt = tsin t - integralsin t,dt = tsin t + cos t + C1, integralsin t,dt = -cos t + C2
Logo
x(t)=tsin t + C, C=C1+C2
Como x(0)=0, temos C=0, portanto
x(t)=tsin t

Passo 3

Para y(t),
y(t)=integrall(t^2cos t+2tsin tr),dt
Note que
integral t^2cos t,dt = t^2sin t - integral 2tsin t,dt,
então ao somar integral2tsin t,dt cancela-se o termo interno, restando
y(t)=t^2sin t + D
Como y(0)=0, segue D=0 e
y(t)=t^2sin t
Assim
varphi(t)=(tsin t,;t^2sin t)

Passo 4

Calculamos primeiro os pontos:
varphi(pi) = l(pisinpi,;pi^2sinpir) = (0,0),
varphi(2pi) = l(2pisin2pi,;(2pi)^2sin2pir) = (0,0)

Passo 5

Como varphi satisfaz varphi'(t)=f(t,varphi(t)), temos
varphi'(t) = l(tcos t+sin t,;t^2cos t+2tsin tr)
Logo
varphi'(pi) = (picospi+sinpi,;pi^2cospi+2pisinpi) = (-pi,,-pi^2),
varphi'(2pi) = (2picos2pi+sin2pi,;(2pi)^2cos2pi+4pisin2pi) = (2pi,;4pi^2)

Resposta

varphi(pi) = (0,0)
varphi(2pi) = (0,0)
varphi'(pi) = (-pi,,-pi^2)
varphi'(2pi) = (2pi,;4pi^2)

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