Exercício 9 (S.1.14)
Seja
de classe
e suponhamos que
é a solução de
É possível que exista
tal que
, porém
e
são linearmente independentes?
Sugestão: Note que
e
. Seja
a solução de (*) com
dada por
e condições iniciais
. Calcule então
e
.
Seja
Sugestão: Note que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar um exemplo em que existe
tal que
mas
e
são linearmente independentes. Para isso, usamos o sistema não-autônomo em
com condição inicial
. Vamos primeiro encontrar
por integração.
Passo 2
Como as componentes se separam, integramos cada uma:
Para ,
Para
Integramos por partes em
e somamos
:
Logo
Como
, temos
, portanto
Passo 3
Para
,
Note que
então ao somar
cancela-se o termo interno, restando
Como
, segue
e
Assim
Passo 4
Calculamos primeiro os pontos:
Passo 5
Como
satisfaz
, temos
Logo