Resolva os problemas de valor inicial dados:
X^prime=(ccc1 & -12 & -14 1 & 2 & -3 1 & 1 & -2) X, X(0)=(l1 3 0)

Passo 1

O enunciado dá o sistema de EDOs lineares com coeficientes constantes
X' = A,X, A = 1 & -12 & -14 1 & 2 & -3 1 & 1 & -2,
e condição inicial
X(0) = 130
Para resolver, vamos achar os autovalores e autovetores de A, montar a solução geral real e impor X(0).

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
det(A-lambda I) =-(lambda-1)(lambda^2+25),
logo os autovalores são
lambda1 = 1, lambda2,3 = pm 5i

Passo 3

Para lambda1=1 resolvemos (A-I) v=0. De
-12,y-14,z=0, x+y-3z=0
uma escolha é v1 =(-25,7,-6). Para simplificar, usamos
v1 = 25-76

Passo 4

Para lambda=5i resolvemos (A-5iI) v=0 e encontramos, até escala,
v = l(1+5i,;1,;1r)^T
Separamos parte real e imaginária:
p = Re v = 111, q = Im v = 500

Passo 5

A solução geral real é a combinação de e^t v1 e das duas soluções oscilatórias oriundas dos pares complexos:
X(t) = C1 e^t, v1 + C2l[ pcos(5t)- qsin(5t)r] + C3l[ psin(5t)+ qcos(5t)r]

Passo 6

Em
Isto dá o sistema
Da terceira equação , daí . Da primeira vem .

Passo 7

Substituindo C1,C2,C3 em X(t) e escrevendo coordenada a coordenada obtemos, com fator comum 1/13:
x1(t)=113l[-75e^t+88cos(5t);-76sin(5t)r],
x2(t)=113l[21e^t+18cos(5t);+;14sin(5t)r],
x3(t)=113l[-18e^t+18cos(5t);+;14sin(5t)r]

Resposta

boxed X(t) = 113 -75e^t+88cos(5t)-76sin(5t) 21e^t+18cos(5t)+14sin(5t) -18e^t+18cos(5t)+14sin(5t)

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