Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, verificando se elas são ou não são exatas:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
. O conteúdo aqui é verificar se a forma diferencial é exata e, em caso positivo, usar a função potencial para obter a solução geral.
Passo 2
Escrevemos a equação na forma
Multiplicando ambos os lados por
e rearranjando, obtemos
Logo, identificamos
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais
e
.
Como , a forma é exata.
e
Como
Passo 4
Procuramos uma função potencial
tal que
e
.
Integramos em relação a
:
Integramos
onde
é uma função a determinar. Depois, exigimos
o que implica
Passo 5
Integramos
em relação a
:
Assim, a função potencial completa é
A solução geral implícita vem de
onde
é constante arbitrária.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é