Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, verificando se elas são ou não são exatas:
y^prime=3 x^2-yx-3 y^2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y' = 3x^2 - yx - 3y^2. O conteúdo aqui é verificar se a forma diferencial é exata e, em caso positivo, usar a função potencial para obter a solução geral.

Passo 2

Escrevemos a equação na forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
Multiplicando ambos os lados por dx e rearranjando, obtemos
(x - 3y^2),dy - (3x^2 - y),dx = 0
Logo, identificamos
M(x,y) = -(3x^2 - y) = y - 3x^2, N(x,y) = x - 3y^2

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais
partial Mpartial y = 1
e
partial Npartial x = 1.
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a forma é exata.

Passo 4

Procuramos uma função potencial phi(x,y) tal que
phix = M e phiy = N.
Integramos phix = y - 3x^2 em relação a x:
phi(x,y) = xy - x^3 + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar. Depois, exigimos
phiy = x + h'(y) = N = x - 3y^2
o que implica
h'(y) = -3y^2

Passo 5

Integramos h'(y) em relação a y:
h(y) = -y^3 + C
Assim, a função potencial completa é
phi(x,y) = xy - x^3 - y^3
A solução geral implícita vem de
phi(x,y) = k,
onde k é constante arbitrária.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
xy - x^3 - y^3 = C

Exercícios relacionados