Resolva os problemas não-homogêneos a seguir:
ld xd t=3 x-3 y+4 d yd t=2 x-2 y-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear não-homogêneo de duas equações diferenciais de primeira ordem com coeficientes constantes:
dxdt=3x-3y+4, dydt=2x-2y-1
O conteúdo necessário envolve escrever o sistema na forma matricial dXdt=A,X+b, encontrar a solução geral da parte homogênea por autovalores e autovetores, e depois obter uma solução particular por método de coeficientes indeterminados.

Passo 2

Escrevendo em forma matricial,
Para a parte homogênea , os autovalores satisfazem
logo , .
  • Para , resolvemos e obtemos .
  • Para , resolvemos e obtemos .
    Assim a solução geral homogênea é
]

Passo 3

Como
Então e
Comparando termo a termo em :
. Coeficiente de : , ou seja, está no núcleo de . Logo
. Termo constante:
Escrevendo e usando , obtemos o sistema
Da igualdade dos dois e então . Podemos escolher, por exemplo, , . Logo
e

Passo 4

A solução geral do sistema é a soma da homogênea com a particular:
X(t)=Xh(t)+Xp(t) =;C111 + C232e^t +-11,t-5-11,t
Em componentes,
x(t)=C1 + 3,C2,e^t -11,t -5, y(t)=C1 + 2,C2,e^t -11,t

Resposta

boxed x(t)&=C1 + 3,C2,e^t -11,t -5, y(t)&=C1 + 2,C2,e^t -11,t,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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