Exercício 15. Seja X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n} uma amostra aleatória tal que X_{i} \mid(\mu, \gamma) \sim N(\mu, 1 / \gamma), i=1,2, \ldots, n. Considere a priori conjugada para o vetor (\mu, \gamma).
(a) Determine os parâmetros \left(\mu_{0}, c_{0}, k_{0}, \tau_{0}^{2}\right) de modo a garantir que E(\mu)=0, P(|\mu|<1,412)= 0,5, E(\gamma)=2 e E\left(\gamma^{2}\right)=5 ;
(b) Suponha que uma amostra de tamanho n=10, com \bar{x}=1 e \sum_{i=1}^{1} 0\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}=8, tenha sido observada. Determine a distribuição a posteriori de \mu. Além disso, esboce um gráfico da priori, posteriori e função de verossimilhança juntas, para \gamma fixado;

Passo 1

O enunciado trata de uma amostra X_{1},\dots,X_{n} de uma normal com média \mu e variância 1/\gamma, e pede para escolher uma priori conjugada Normal–Gamma com parâmetros (\mu_{0},c_{0},k_{0},\tau_{0}) de forma que
  • E(\mu)=0,
  • P(|\mu|<1,412)=0,5,
  • E(\gamma)=2,
  • E(\gamma^{2})=5.
Para isso vamos usar que, sob a priori Normal–Gamma em forma “mu|gamma~N(mu 0,1/(c 0\gamma))” e “gamma~Gamma(k 0, \tau 0)” (forma shape-scale):
1. A marginal de \mu é uma Student- t com 2k_{0} graus de liberdade, centro \mu_{0} e escala
s = \sqrt{\frac{\tau_{0}}{c_{0}\,k_{0}}}\,.
Daqui E(\mu)=\mu_{0} e
P(|\mu-\mu_{0}|<a)=0{,}5\quad\Longrightarrow\quad a = t_{2k_{0},\,0{,}75}\;s\,.
2. Para \gamma\sim\Gamma(k_{0},\tau_{0}) no parâmetro escala valem
E(\gamma)=k_{0}\,\tau_{0},\quad E(\gamma^{2})=k_{0}(k_{0}+1)\,\tau_{0}^{2}.

Passo 2

A partir de E(\gamma)=2 e E(\gamma^{2})=5 resolvemos
k_{0}\,\tau_{0} = 2, \quad k_{0}(k_{0}+1)\,\tau_{0}^{2} = 5.
Testando valores inteiros, achamos k_{0}=4 e \tau_{0}=\tfrac12, pois
4\cdot \tfrac12 = 2, \quad 4\cdot5\cdot\bigl(\tfrac12\bigr)^{2} = 20\cdot\tfrac14 =5.

Passo 3

Para \mu queremos E(\mu)=0 e P(|\mu|<1{,}412)=0{,}5. Logo \mu_{0}=0 e, usando 2k_{0}=8 graus de liberdade,
t_{8,\,0{,}75}\approx1{,}395, \quad 1{,}412 = t_{8,0{,}75}\,\sqrt{\frac{\tau_{0}}{c_{0}\,k_{0}}} =1{,}395\,\sqrt{\frac{\tfrac12}{c_{0}\cdot4}}.
Resolvendo em c_{0}
\sqrt{\frac{1/2}{4\,c_{0}}} =\frac{1{,}412}{1{,}395}\approx1{,}013 \;\Longrightarrow\; \frac{1/2}{4\,c_{0}}\approx1{,}026 \;\Longrightarrow\; c_{0}\approx\frac{1/2}{4\cdot1{,}026}\approx0{,}125.

Passo 4

Portanto, os hiperparâmetros que satisfazem (a) são
\mu_{0}=0,\quad c_{0}=\tfrac18,\quad k_{0}=4,\quad \tau_{0}=\tfrac12.

Passo 5

Agora suponha n=10, \bar x=1, \sum_{i=1}^{10}(x_i-\bar x)^2=8. Sob a priori Normal–Gamma temos a posteriori
1. \mu\mid\gamma,\text{dados}\sim N\bigl(\mu_{n},\,1/\bigl((c_{0}+n)\,\gamma\bigr)\bigr), com
\mu_{n} = \frac{c_{0}\,\mu_{0} + n\,\bar x}{c_{0}+n} = \frac{\tfrac18\cdot0 +10\cdot1}{0{,}125+10} = \frac{10}{10{,}125} = \frac{80}{81}\approx0{,}988.
2. (\gamma\middados\sim \Gamma\bigl(k_{0}+\tfrac n2,;\tau_{0}+\tfrac12\sum (x_i-\bar x)^2
  • \tfrac{c_{0},n}{2(c_{0}+n)}(\bar x-\mu_{0})^2\bigr).)

Passo 6

Para obter a distribuição marginal de \mu basta integrar \gamma. O resultado é uma Student- t com
\nu = 2\Bigl(k_{0}+\tfrac n2\Bigr)=2\cdot9=18, \quad \text{loc}=\mu_{n}=\tfrac{80}{81}, \quad \text{scale} =\sqrt{\frac{\tau_{0} + \tfrac12\cdot8 + \tfrac{c_{0}n}{2(c_{0}+n)}\cdot1^2} {(c_{0}+n)\,(k_{0}+\tfrac n2)}} \approx0{,}224.
Logo
\mu\mid \text{dados} \;\sim\; t_{\nu=18}\bigl(\mu_{n}=80/81,\;\text{scale}\approx0{,}224\bigr).

Passo 7

Para \gamma fixado, a priori de \mu, a verossimilhança em \mu e a posteriori de \mu\mid\gamma são três densidades normais em \mu:
  • priori N(0,1/(c_{0}\gamma)) com variância 8/\gamma (mais larga),
  • verossimilhança \approx N(\bar x,1/(n\gamma))=N(1,\,0{,}1/\gamma),
  • posteriori N(\mu_{n},1/((c_{0}+n)\gamma))=N(0{,}988,\,0{,}0988/\gamma) (mais concentrada).
No esboço, todas são gaussianas, a priori centrada em 0 e larga, a função de veross. centrada em 1, e a posteriori também em \approx 0,99 e com variância ligeiramente menor que a da verossimilhança.

Resposta

(a) \mu_{0}=0,\;c_{0}=\tfrac18,\;k_{0}=4,\;\tau_{0}=\tfrac12.
(b)
\mu\mid\gamma,\text{dados}\sim N\bigl(\tfrac{80}{81},\,1/\bigl(10{,}125\,\gamma\bigr)\bigr),
logo marginalmente
\mu\mid\text{dados}\sim t_{18}\bigl(\mu_{n}=80/81,\;\text{scale}\approx0{,}224\bigr).
Esboço: três curvas normais em \mu (priori em 0, veross. em 1, posteriori em \approx 0,99) com larguras decrescentes.

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