Exercício 14. Seja
uma amostra aleatória tal que
, em que a média
é conhecida. Suponha que, a priori,
. Se o coeficiente de variação a priori de
for 0,5 , qual deve ser o tamanho da amostra para garantir que o coeficiente de variação a posteriori de
reduza para 0,1 ? Prove. Dica: O coeficiente de variação de uma variável aleatória
corresponde a
.
Passo 1
O enunciado define o modelo
, com média
conhecida, e a priori
. Queremos achar o tamanho de amostra
tal que o coeficiente de variação a posteriori de
seja
, sabendo que o coeficiente de variação a priori é
. Vamos usar a definição de coeficiente de variação
e as propriedades da distribuição qui-quadrado (que é uma gamma conjugada neste caso).
Passo 2
Para
sabemos que isso equivale a
onde é a taxa (rate). Logo
onde
Assim o coeficiente de variação a priori é
Como foi dado
, temos
Passo 3
Pela conjugação, a verossimilhança em
de
observações
traz um fator
. Com a priori
, a posterior é
Mas o coeficiente de variação de uma
é
Logo, independentemente de
,
Com
, isso fica
.
Passo 4
Queremos
, então
Resposta
O tamanho da amostra necessário é
.