Exercício 15. Seja X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n} uma amostra aleatória tal que X_{i} \mid(\mu, \gamma) \sim N(\mu, 1 / \gamma), i=1,2, \ldots, n. Considere a priori conjugada para o vetor (\mu, \gamma).
(a) Determine os parâmetros \left(\mu_{0}, c_{0}, k_{0}, \tau_{0}^{2}\right) de modo a garantir que E(\mu)=0, P(|\mu|<1,412)=0,5, E(\gamma)=2 e E\left(\gamma^{2}\right)=5 ;
(b) Suponha que uma amostra de tamanho n=10, com \bar{x}=1 e \sum_{i=1}^{1} 0\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}=8, tenha sido observada. Determine a distribuição a posteriori de \mu. Além disso, esboce um gráfico da priori, posteriori e função de verossimilhança juntas, para \gamma fixado;
Passo 1
O enunciado trata de uma amostra X_{1},\dots,X_{n} de uma normal com média \mu e variância 1/\gamma, e pede para escolher uma priori conjugada Normal–Gamma com parâmetros (\mu_{0},c_{0},k_{0},\tau_{0}) de forma que
E(\mu)=0,
P(|\mu|<1,412)=0,5,
E(\gamma)=2,
E(\gamma^{2})=5.
Para isso vamos usar que, sob a priori Normal–Gamma em forma “mu|gamma~N(mu0,1/(c0\gamma))” e “gamma~Gamma(k0,\tau 0)” (forma shape-scale): 1. A marginal de \mu é uma Student-t com 2k_{0} graus de liberdade, centro \mu_{0} e escala
s = \sqrt{\frac{\tau_{0}}{c_{0}\,k_{0}}}\,.
Daqui E(\mu)=\mu_{0} e
P(|\mu-\mu_{0}|<a)=0{,}5\quad\Longrightarrow\quad a = t_{2k_{0},\,0{,}75}\;s\,.
2. Para \gamma\sim\Gamma(k_{0},\tau_{0}) no parâmetro escala valem
Agora suponha n=10, \bar x=1, \sum_{i=1}^{10}(x_i-\bar x)^2=8. Sob a priori Normal–Gamma temos a posteriori 1. \mu\mid\gamma,\text{dados}\sim N\bigl(\mu_{n},\,1/\bigl((c_{0}+n)\,\gamma\bigr)\bigr), com
No esboço, todas são gaussianas, a priori centrada em 0 e larga, a função de veross. centrada em 1, e a posteriori também em \approx 0,99 e com variância ligeiramente menor que a da verossimilhança.
Resposta
(a) \mu_{0}=0,\;c_{0}=\tfrac18,\;k_{0}=4,\;\tau_{0}=\tfrac12.
(b) \mu\mid\gamma,\text{dados}\sim N\bigl(\tfrac{80}{81},\,1/\bigl(10{,}125\,\gamma\bigr)\bigr),
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