Exercício 11 Considere X \sim U(0,1). Determine uma transformação g para a qual a variável aleatória Y=g(X) tenha f.d.p dada por
f_{Y}(y)= \begin{cases}\frac{3}{8} y^{2}, & \text { se } 0<y<2 \\\\ 0, & \text { caso contrário }\end{cases}á

Passo 1

O enunciado dá claramente as seguintes informações e pede isto:
  • Informação dada: X\) tem distribuição uniforme no intervalo \((0,1)\), isto é \(X\sim U(0,1)\). Logo a densidade de \(X\) é \[f_X(x)=\begin{cases}1,& 0<x<1,\\[4pt]0,&\text{caso contrário.}\end{cases}
  • Informação dada: a densidade desejada para Y\] é \[f_{Y}(y)= \begin{cases}\dfrac{3}{8}\,y^{2}, & \text{se } 0<y<2,\\[6pt]0, & \text{caso contrário.}\end{cases}\] - Pergunta: determinar uma transformação \(g tal que Y=g(X) tenha exatamente a densidade f_Y acima.]

Passo 2

Primeiro vamos encontrar a função de distribuição acumulada (f.d.a.) F_Y correspondente a f_Y. A f.d.a. é definida por
F_Y(y)=\Pr(Y\le y)=\int_{-\infty}^{y} f_Y(t)\,dt.
Como f_Y(t)=0 para t\le 0 e para t\ge 2, só precisamos integrar no trecho 0<t<y quando 0<y<2. Calculando:
F_Y(y)=\int_{0}^{y} \frac{3}{8}t^{2}\,dt =\frac{3}{8}\cdot\frac{t^{3}}{3}\Bigg|_{0}^{y} =\frac{y^{3}}{8},\qquad \text{para }0<y<2.
Portanto, a f.d.a. completa é
F_Y(y)=\begin{cases}0,& y\le 0,\\[4pt]\dfrac{y^{3}}{8},& 0<y<2,\\[6pt]1,& y\ge 2.\end{cases}]

Passo 3

Agora uso um método padrão e muito útil: se X\sim U(0,1) então a variável Y=F_Y^{-1}(X) (ou seja, a inversa da f.d.a. aplicada a X) tem f.d.a. F_Y. Vou explicar por que isso funciona, passo a passo:
  • Seja U uma variável uniforme em (0,1). Seja F_Y a f.d.a. desejada, crescente de 0 a 1. Defina Y=F_Y^{-1}(U) (a inversa existe nos pontos em que F_Y é estritamente crescente).
  • Então, para qualquer y,
\Pr(Y\le y)=\Pr\big(F_Y^{-1}(U)\le y\big).
Como F_Y é crescente, F_Y^{-1}(u)\le y é equivalente a u\le F_Y(y). Logo
\Pr\big(F_Y^{-1}(U)\le y\big)=\Pr\big(U\le F_Y(y)\big).
  • Como U é uniforme em (0,1), \Pr(U\le t)=t para t\in[0,1]. Assim
\Pr(U\le F_Y(y))=F_Y(y).
Portanto \Pr(Y\le y)=F_Y(y), ou seja, Y tem a f.d.a. desejada. Esse é o princípio da inversão da f.d.a.

Passo 4

Aplicando isso ao nosso caso: para 0<y<2 temos F_Y(y)=y^{3}/8. Para inverter F_Y no intervalo (0,2) fazemos
u=F_Y(y)=\frac{y^{3}}{8}\quad\Longrightarrow\quad y^{3}=8u\quad\Longrightarrow\quad y=(8u)^{1/3}.
Como 8^{1/3}=2, obtemos
y=2\,u^{1/3}.
Substituindo u por x (variável uniforme X que toma valores em (0,1)), a transformação candidata é
g(x)=2\,x^{1/3},\qquad 0\le x\le 1.
Note que g(0)=0 e g(1)=2, mapeando [0,1] em [0,2] de forma crescente.

Passo 5

Para ficar totalmente tranquilo, vamos verificar diretamente a densidade resultante usando a fórmula de mudança de variável para transformações monótonas:
  • Temos g estritamente crescente em [0,1], e sua inversa é
g^{-1}(y)=\left(\frac{y}{2}\right)^{3}=\frac{y^{3}}{8},\qquad 0\le y\le 2.
  • A derivada da inversa é
\frac{d}{dy}g^{-1}(y)=\frac{3y^{2}}{8}.
  • A fórmula de transformação diz que, para 0<y<2,
f_Y(y)=f_X\big(g^{-1}(y)\big)\cdot\left|\frac{d}{dy}g^{-1}(y)\right|.
Como f_X(\cdot)=1 em (0,1) e g^{-1}(y)\in(0,1) quando y\in(0,2), isto dá
f_Y(y)=1\cdot\frac{3y^{2}}{8}=\frac{3}{8}y^{2},
que é exatamente a densidade pedida. Para y fora de (0,2) obtemos f_Y(y)=0. Portanto g(x)=2x^{1/3} funciona e está verificado.

Passo 6

Resumo do raciocínio didático e prático (o que você precisa lembrar para a prova):
  • Para obter uma variável com f.d.a. F a partir de U\sim U(0,1), basta tomar F^{-1}(U) (método da inversão).
  • Se, em vez disso, você propuser Y=g(X) com X\sim U(0,1), escolha g=F^{-1}.
  • Sempre verifique que g é monotona e que sua imagem e domínio batem com os suportes das variáveis.
  • Se preferir, valide calculando f_Y(y)=f_X(g^{-1}(y))\big|d/dy\,g^{-1}(y)\big|.
Força aí — deu trabalho, mas agora ficou limpinho: a transformação é simples e a verificação é direta.

Resposta

g(x)=2\,x^{1/3},\quad 0\le x\le 1

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