Exercício 11 Considere X \sim U(0,1). Determine uma transformação g para a qual a variável aleatória Y=g(X) tenha f.d.p dada por
f_{Y}(y)= \begin{cases}\frac{3}{8} y^{2}, & \text { se } 0<y<2 \\\\ 0, & \text { caso contrário }\end{cases}
Passo 1
O enunciado dá claramente as seguintes informações e pede isto:
Informação dada: X\) tem distribuição uniforme no intervalo \((0,1)\), isto é \(X\sim U(0,1)\). Logo a densidade de \(X\) é
\[f_X(x)=\begin{cases}1,& 0<x<1,\\[4pt]0,&\text{caso contrário.}\end{cases}
Informação dada: a densidade desejada para Y\] é
\[f_{Y}(y)= \begin{cases}\dfrac{3}{8}\,y^{2}, & \text{se } 0<y<2,\\[6pt]0, & \text{caso contrário.}\end{cases}\]
- Pergunta: determinar uma transformação \(g tal que Y=g(X) tenha exatamente a densidade f_Y acima.]
Passo 2
Primeiro vamos encontrar a função de distribuição acumulada (f.d.a.) F_Y correspondente a f_Y. A f.d.a. é definida por
F_Y(y)=\Pr(Y\le y)=\int_{-\infty}^{y} f_Y(t)\,dt.
Como f_Y(t)=0 para t\le 0 e para t\ge 2, só precisamos integrar no trecho 0<t<y quando 0<y<2. Calculando:
Agora uso um método padrão e muito útil: se X\sim U(0,1) então a variável Y=F_Y^{-1}(X) (ou seja, a inversa da f.d.a. aplicada a X) tem f.d.a. F_Y. Vou explicar por que isso funciona, passo a passo:
Seja U uma variável uniforme em (0,1). Seja F_Y a f.d.a. desejada, crescente de 0 a 1. Defina Y=F_Y^{-1}(U) (a inversa existe nos pontos em que F_Y é estritamente crescente).
Então, para qualquer y,
\Pr(Y\le y)=\Pr\big(F_Y^{-1}(U)\le y\big).
Como F_Y é crescente, F_Y^{-1}(u)\le y é equivalente a u\le F_Y(y). Logo
Substituindo u por x (variável uniforme X que toma valores em (0,1)), a transformação candidata é
g(x)=2\,x^{1/3},\qquad 0\le x\le 1.
Note que g(0)=0 e g(1)=2, mapeando [0,1] em [0,2] de forma crescente.
Passo 5
Para ficar totalmente tranquilo, vamos verificar diretamente a densidade resultante usando a fórmula de mudança de variável para transformações monótonas:
Temos g estritamente crescente em [0,1], e sua inversa é