Exercício 14: Sejam A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n} \subseteq \Omega, prove que \left(\bigcup_{i=1}^{n} A_{i}\right)^{c}=\bigcap_{i=1}^{n} A_{i}^{c}, \forall n \in \mathbb{N}, n \geq 2.

Passo 1

O enunciado pede para provar a versão finita da Lei de De Morgan em teoria de conjuntos, ou seja, mostrar que para quaisquer conjuntos A_{1},A_{2},\dots,A_{n}\subseteq\Omega e todo n\ge2 vale
\bigl(\bigcup_{i=1}^{n}A_{i}\bigr)^{c} =\bigcap_{i=1}^{n}A_{i}^{c}.
Vamos usar prova por indução em n.

Passo 2

Base n=2. Queremos provar
\bigl(A_{1}\cup A_{2}\bigr)^{c} = A_{1}^{c}\cap A_{2}^{c}.
Pela definição de complemento e união, um elemento x\in\Omega pertence ao lado esquerdo se, e somente se, não pertence à união, isto é,
x\in (A_{1}\cup A_{2})^{c} \quad\Longleftrightarrow\quad x\notin A_{1}\cup A_{2} \quad\Longleftrightarrow\quad \bigl(x\notin A_{1}\bigr)\;\text{e}\;\bigl(x\notin A_{2}\bigr).
Mas “ x\notin A_{i}” equivale a “ x\in A_{i}^{c}”. Logo
x\in (A_{1}\cup A_{2})^{c} \quad\Longleftrightarrow\quad x\in A_{1}^{c}\cap A_{2}^{c},
o que mostra a base.

Passo 3

Hipótese de indução. Suponha que para algum k\ge2 já esteja provado que
\bigl(\bigcup_{i=1}^{k}A_{i}\bigr)^{c} =\bigcap_{i=1}^{k}A_{i}^{c}.

Passo 4

Passo indutivo ( k\to k+1). Considere
\displaystyle \bigcup_{i=1}^{k+1}A_{i} =\Bigl(\bigcup_{i=1}^{k}A_{i}\Bigr)\;\cup\;A_{k+1}.
Aplicando a Lei de De Morgan para dois conjuntos (caso n=2) com
\;X=\bigcup_{i=1}^{k}A_{i} e Y=A_{k+1}, obtemos
\Bigl(X\cup Y\Bigr)^{c} = X^{c}\cap Y^{c} \quad\Longrightarrow\quad \Bigl(\bigcup_{i=1}^{k+1}A_{i}\Bigr)^{c} =\Bigl(\bigcup_{i=1}^{k}A_{i}\Bigr)^{c} \cap A_{k+1}^{c}.
Pela hipótese de indução substituímos
\bigl(\bigcup_{i=1}^{k}A_{i}\bigr)^{c} por \bigcap_{i=1}^{k}A_{i}^{c}, obtendo
\Bigl(\bigcup_{i=1}^{k+1}A_{i}\Bigr)^{c} =\Bigl(\bigcap_{i=1}^{k}A_{i}^{c}\Bigr)\cap A_{k+1}^{c} =\bigcap_{i=1}^{k+1}A_{i}^{c}.
Assim, a propriedade vale para n=k+1.

Passo 5

Por indução em n, concluímos que para todo n\ge2
\bigl(\bigcup_{i=1}^{n}A_{i}\bigr)^{c} =\bigcap_{i=1}^{n}A_{i}^{c}.

Resposta

\boxed{ \bigl(\bigcup_{i=1}^{n}A_{i}\bigr)^{c} = \bigcap_{i=1}^{n}A_{i}^{c}, \quad\forall n\in\mathbb{N},\;n\ge2. }

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