Demonstre as identidades:
(b) \frac{2 \tan \theta}{1+\tan ^{2} \theta}=\operatorname{sen} 2 \theta

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a identidade trigonométrica
\frac{2\tan\theta}{1+\tan^{2}\theta} = \operatorname{sen} 2\theta.
O conteúdo envolve transformação de funções trigonométricas em termos de \operatorname{sen}\theta e \cos\theta e uso da fórmula do ângulo duplo \sen2\theta=2\operatorname{sen}\theta\cos\theta.

Passo 2

Escrevemos tudo em termos de \operatorname{sen}\theta e \cos\theta. Sabemos que
\tan\theta = \frac{\operatorname{sen}\theta}{\cos\theta}, \qquad 1+\tan^{2}\theta = \frac{\operatorname{sen}^{2}\theta+\cos^{2}\theta}{\cos^{2}\theta} = \frac{1}{\cos^{2}\theta}.
Substituindo na fração dada:
\frac{2\tan\theta}{1+\tan^{2}\theta} = 2 \,\frac{\displaystyle\frac{\operatorname{sen}\theta}{\cos\theta}}{\displaystyle\frac{1}{\cos^{2}\theta}}

Passo 3

Simplificamos a expressão:
2 \,\frac{\operatorname{sen}\theta/\cos\theta}{1/\cos^{2}\theta} = 2\,\frac{\operatorname{sen}\theta}{\cos\theta}\cdot\cos^{2}\theta = 2\,\operatorname{sen}\theta\cos\theta.
E pela fórmula do ângulo duplo, 2\operatorname{sen}\theta\cos\theta=\sen2\theta.

Resposta

\frac{2\tan\theta}{1+\tan^{2}\theta} = \sen2\theta.

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