Exercício 14. Simplifique as frações algébricas a seguir. Considere que os denominadores são diferentes de zero:
Passo 1
O enunciado pede para simplificar a fração algébrica e informa que os denominadores são diferentes de zero. A expressão dada é:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A expressão a simplificar é
. - Há a condição implícita de que o denominador não pode ser zero, ou seja
(logo ).
O objetivo é escrever a forma simplificada da fração, respeitando a restrição do denominador.
Passo 2
Vamos olhar para o numerador
. Uma técnica básica de simplificação é fatorar um fator comum quando ele existe. Fator comum significa um número ou expressão que multiplica todos os termos do polinômio. Aqui os termos são
e
; ambos são divisíveis por
. Então podemos escrever:
Explicando com calma: ao distribuir
em
temos
, que é exatamente o numerador original.
Passo 3
Substituindo essa fatoração na fração original, obtemos:
Agora a fração tem o mesmo fator
no numerador e no denominador.
Passo 4
Regra de cancelamento: se um fator não nulo aparece multiplicando tanto o numerador quanto o denominador, pode-se simplificá‑lo (cancelá‑lo). Ou seja, para
e
com
,
Aqui
e
. Mas atenção importante: só podemos cancelar
se
, porque divisão por zero é indefinida. Como o enunciado já nos disse que denominadores são diferentes de zero, estamos autorizados a cancelar
. Cancelando, obtemos:
Passo 5
Interpretação final e restrição de domínio: a expressão simplificada é o número constante
. Entretanto, a igualdade com
vale apenas para os valores de
para os quais a expressão original está definida, ou seja para
. Em
a fração original tem denominador zero e é indefinida, mesmo que a forma simplificada seja numericamente
.
Passo 6
Verificação rápida (teste numérico): escolher um valor permitido, por exemplo
.
Calcular a original:
Calcular a original:
Calcular a simplificada:
. Conferido.
Dica para a prova: sempre procure fator comum no numerador e denominador; cancele só fatores inteiros (não “term os” somados). Nunca cancele termos que não estejam como fator multiplicativo comum.
Dica para a prova: sempre procure fator comum no numerador e denominador; cancele só fatores inteiros (não “term os” somados). Nunca cancele termos que não estejam como fator multiplicativo comum.