Exercício 14. Simplifique as frações algébricas a seguir. Considere que os denominadores são diferentes de zero:
\frac{5 x+10}{x+2}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a fração algébrica e informa que os denominadores são diferentes de zero. A expressão dada é:
\frac{5x+10}{x+2}
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A expressão a simplificar é \frac{5x+10}{x+2}.
  • Há a condição implícita de que o denominador não pode ser zero, ou seja x+2 \neq 0 (logo x \neq -2).
    O objetivo é escrever a forma simplificada da fração, respeitando a restrição do denominador.

Passo 2

Vamos olhar para o numerador \,5x+10. Uma técnica básica de simplificação é fatorar um fator comum quando ele existe. Fator comum significa um número ou expressão que multiplica todos os termos do polinômio. Aqui os termos são 5x e 10; ambos são divisíveis por 5. Então podemos escrever:
5x+10 = 5(x+2).
Explicando com calma: ao distribuir 5 em x+2 temos 5\cdot x + 5\cdot 2 = 5x+10, que é exatamente o numerador original.

Passo 3

Substituindo essa fatoração na fração original, obtemos:
\frac{5x+10}{x+2} = \frac{5(x+2)}{x+2}.
Agora a fração tem o mesmo fator (x+2) no numerador e no denominador.

Passo 4

Regra de cancelamento: se um fator não nulo aparece multiplicando tanto o numerador quanto o denominador, pode-se simplificá‑lo (cancelá‑lo). Ou seja, para A e B com B\neq 0,
\frac{A\cdot B}{B} = A.
Aqui A=5 e B=(x+2). Mas atenção importante: só podemos cancelar (x+2) se (x+2)\neq 0, porque divisão por zero é indefinida. Como o enunciado já nos disse que denominadores são diferentes de zero, estamos autorizados a cancelar (x+2). Cancelando, obtemos:
\frac{5(x+2)}{x+2} = 5.

Passo 5

Interpretação final e restrição de domínio: a expressão simplificada é o número constante 5. Entretanto, a igualdade com 5 vale apenas para os valores de x para os quais a expressão original está definida, ou seja para x\neq -2. Em x=-2 a fração original tem denominador zero e é indefinida, mesmo que a forma simplificada seja numericamente 5.

Passo 6

Verificação rápida (teste numérico): escolher um valor permitido, por exemplo x=1.
Calcular a original:
\frac{5\cdot 1 + 10}{1+2} = \frac{15}{3} = 5.
Calcular a simplificada: 5. Conferido.
Dica para a prova: sempre procure fator comum no numerador e denominador; cancele só fatores inteiros (não “term os” somados). Nunca cancele termos que não estejam como fator multiplicativo comum.

Resposta

5
x \neq -2

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