Exercício 14. Simplifique as frações algébricas a seguir. Considere que os denominadores são diferentes de zero:
\frac{m^{2}-6 m+9}{m-3}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a fração algébrica abaixo e diz que o denominador é diferente de zero:
\frac{m^{2}-6m+9}{m-3}
Informações relevantes dadas:
  • A expressão a ser simplificada é \dfrac{m^{2}-6m+9}{m-3}.
  • O denominador não pode ser zero, portanto vale a condição \,m\neq3.

Passo 2

Ideia básica para simplificar frações algébricas: fatorar numerador e denominador e cancelar fatores comuns (isso só é válido quando os fatores não são zero). Vou tentar fatorar o numerador \,m^{2}-6m+9.
Duas maneiras simples de reconhecer a fatoração:
  • Procurar dois números cuja multiplicação dê 9 (termo constante) e cuja soma dê 6 (coeficiente de m). Esses números são 3 e 3, então uma fatoração possível é (m-3)(m-3).
  • Reconhecer que é um trinômio quadrado perfeito: (m-3)^2 = m^2 - 2\cdot m\cdot 3 + 3^2 = m^2 -6m +9.
Portanto, pode-se escrever
m^{2}-6m+9 = (m-3)^2.

Passo 3

Reescrevendo a fração usando a fatoração do numerador:
\frac{m^{2}-6m+9}{m-3} = \frac{(m-3)^2}{m-3} = \frac{(m-3)\cdot(m-3)}{m-3}.
Agora há um fator comum (m-3) no numerador e no denominador. Podemos cancelar esse fator comum, lembrando sempre que a operação de cancelar exige que esse fator não seja zero — por isso a condição inicial \,m\neq3 é importante.

Passo 4

Breve verificação alternativa (divisão de polinômios) para garantir que não houve erro: dividir m^{2}-6m+9 por m-3. Fazendo a divisão (colocando m^{2}-6m+9 dentro e m-3 fora), obtém-se resto zero, o que confirma que m-3 é fator do numerador e que a simplificação por cancelamento é correta (novamente sob a condição \,m\neq3).

Resposta

m-3,\; m\neq3

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