Exercício 14. Simplifique as frações algébricas a seguir. Considere que os denominadores são diferentes de zero:
Passo 1
O enunciado pede para simplificar a fração algébrica abaixo e diz que o denominador é diferente de zero:
Informações relevantes dadas:
- A expressão a ser simplificada é
. - O denominador não pode ser zero, portanto vale a condição
.
Passo 2
Ideia básica para simplificar frações algébricas: fatorar numerador e denominador e cancelar fatores comuns (isso só é válido quando os fatores não são zero). Vou tentar fatorar o numerador
.
Duas maneiras simples de reconhecer a fatoração:
- Procurar dois números cuja multiplicação dê
(termo constante) e cuja soma dê (coeficiente de ). Esses números são e , então uma fatoração possível é . - Reconhecer que é um trinômio quadrado perfeito:
.
Portanto, pode-se escrever
Passo 3
Reescrevendo a fração usando a fatoração do numerador:
Agora há um fator comum
no numerador e no denominador. Podemos cancelar esse fator comum, lembrando sempre que a operação de cancelar exige que esse fator não seja zero — por isso a condição inicial
é importante.
Passo 4
Breve verificação alternativa (divisão de polinômios) para garantir que não houve erro: dividir
por
. Fazendo a divisão (colocando
dentro e
fora), obtém-se resto zero, o que confirma que
é fator do numerador e que a simplificação por cancelamento é correta (novamente sob a condição
).