Exercício 14. Simplifique as frações algébricas a seguir. Considere que os denominadores são diferentes de zero:
Passo 1
O enunciado nos dá a fração algébrica
e pede para simplificá‑la. Informação importante fornecida: os denominadores são diferentes de zero, portanto
Não resolvo nada aqui — apenas listei o que foi dado e o que se pede.
Passo 2
Identificar um método útil: reconhecer que o numerador é uma diferença de quadrados. A fórmula da diferença de quadrados é
onde
e
são quaisquer expressões. Nesta fórmula,
significa o quadrado de
e
o quadrado de
.
No nosso caso, podemos escolher
e
, porque
. Aplicando a fórmula:
Passo 3
Substituo a fatoração no numerador da fração original:
Agora explico a regra de cancelamento: se uma mesma expressão aparece como fator no numerador e no denominador, e essa expressão é diferente de zero, pode‑se simplificá‑la dividindo ambos por esse fator. Aqui o fator comum é
. Mas atenção importante: só é permitido cancelar porque o enunciado já exige
(assim
). Então posso simplificar:
Passo 4
Comentário sobre equivalência: a expressão simplificada
representa a mesma função racional que a original para todo
diferente de
. Para ver na prática, exemplo numérico: escolha
(que satisfaz
):
Os dois resultados coincidem, como esperado.
Passo 5
Observação final importante sobre domínio: embora a forma simplificada seja
(uma expressão polinomial definida para todo
), a fração original não está definida em
. Portanto a simplificação correta deve manter essa restrição no domínio: a forma simplificada é válida apenas para
. Em termos técnicos, a função original tem uma descontinuidade removível em
.
Passo 6
Exemplo extra rápido para fixar (mesma ideia): simplificar
Aqui
, então
Isso reforça o padrão: diferença de quadrados
fatoração
cancelamento (respeitando as restrições de domínio).