Exercício 14. Simplifique as frações algébricas a seguir. Considere que os denominadores são diferentes de zero:
\frac{x^{2}-4}{x-2}

Passo 1

O enunciado nos dá a fração algébrica
\frac{x^{2}-4}{x-2},
e pede para simplificá‑la. Informação importante fornecida: os denominadores são diferentes de zero, portanto
x \neq 2.
Não resolvo nada aqui — apenas listei o que foi dado e o que se pede.

Passo 2

Identificar um método útil: reconhecer que o numerador é uma diferença de quadrados. A fórmula da diferença de quadrados é
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b),
onde a e b são quaisquer expressões. Nesta fórmula, a^{2} significa o quadrado de a e b^{2} o quadrado de b.
No nosso caso, podemos escolher a=x e b=2, porque x^{2}-4 = x^{2}-2^{2}. Aplicando a fórmula:
x^{2}-4=(x-2)(x+2).

Passo 3

Substituo a fatoração no numerador da fração original:
\frac{x^{2}-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}.
Agora explico a regra de cancelamento: se uma mesma expressão aparece como fator no numerador e no denominador, e essa expressão é diferente de zero, pode‑se simplificá‑la dividindo ambos por esse fator. Aqui o fator comum é (x-2). Mas atenção importante: só é permitido cancelar porque o enunciado já exige x\neq 2 (assim (x-2)\neq 0). Então posso simplificar:
\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2\qquad\text{(desde que \(x\neq 2\)).}

Passo 4

Comentário sobre equivalência: a expressão simplificada x+2 representa a mesma função racional que a original para todo x diferente de 2. Para ver na prática, exemplo numérico: escolha x=3 (que satisfaz x\neq 2):
\text{original: }\frac{3^{2}-4}{3-2}=\frac{9-4}{1}=\frac{5}{1}=5,
\text{simplificado: }3+2=5.
Os dois resultados coincidem, como esperado.

Passo 5

Observação final importante sobre domínio: embora a forma simplificada seja x+2 (uma expressão polinomial definida para todo x), a fração original não está definida em x=2. Portanto a simplificação correta deve manter essa restrição no domínio: a forma simplificada é válida apenas para x\neq 2. Em termos técnicos, a função original tem uma descontinuidade removível em x=2.

Passo 6

Exemplo extra rápido para fixar (mesma ideia): simplificar
\frac{y^{2}-9}{y-3}.
Aqui y^{2}-9=(y-3)(y+3), então
\frac{y^{2}-9}{y-3}=y+3,\quad y\neq 3.
Isso reforça o padrão: diferença de quadrados \Rightarrow fatoração \Rightarrow cancelamento (respeitando as restrições de domínio).

Resposta

\,x+2,\;x\neq 2

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