Exercício 14. Usando mudança de variáveis na integral tripla encontre o volume da região definida pelas desigualdades:
0 <= 2 x-3 y+z <= 5, 1 <= x+2 y <= 4, -3 <= x-z <= 6

Passo 1

O enunciado nos pede o volume da região RsubsetR^3 definida pelas desigualdades
0 <= 2x - 3y + z <= 5, 1 <= x + 2y <= 4, -3 <= x - z <= 6
O conteúdo principal aqui é usar mudança de variáveis em integral tripla para transformar R num paralelepípedo em variáveis adequadas e calcular o volume via o jacobiano.

Passo 2

Definimos a transformação
u = 2x - 3y + z, v = x + 2y, w = x - z
Em decorrência, a região R em (x,y,z) corresponde ao paralelepípedo em (u,v,w) dado por
0 <= u <= 5, 1 <= v <= 4, -3 <= w <= 6

Passo 3

Precisamos do valor absoluto do determinante do jacobiano partial(u,v,w)/partial(x,y,z):
J = det partial upartial x & partial upartial y & partial upartial z partial vpartial x & partial vpartial y & partial vpartial z partial wpartial x & partial wpartial y & partial wpartial z = det 2 & -3 & 1 1 & 2 & 0 1 & 0 & -1
Calculando,
J = 2l(2cdot(-1)-0r) -(-3)l(1cdot(-1)-0r) +1l(1cdot0 -2cdot1r) = -4 -3 -2 = -9,
logo lvert Jrvert = 9. A mudança de variáveis traz o fator 1/|J| no volume.

Passo 4

O volume de R é
integral triplaR dV = integral triplasubstack0<= u<=51<= v<=4-3<= w<=6 1lvert Jrvert,du,dv,dw = 19;(5-0),(4-1),(6-(-3))
Calculamos os comprimentos: 5-0=5, 4-1=3, 6-(-3)=9. Portanto,
integral triplaR dV = 19cdot5cdot3cdot9 = 15

Resposta

O volume da região é 15.

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