Um ponto Singular da equação diferencial
y^prime prime(x)+p(x) y^prime(x)+q(x) y(x)=0é dito ponto singular regular se as funções (x-x0) p(x) e (x-x0)^2 q(x) são analíticas em x0. Em qualquer outro caso o ponto singular é dito ponto singular irregular.
Encontre e classifique os pontos singulares das seguintes equações diferenciais:
2 x(x-1)^2 y^prime prime+5 x y^prime+(x-1) y=0.

Passo 1

O enunciado pede para achar e classificar os pontos singulares da equação
2x(x-1)^2y''+5x,y'+(x-1)y=0
Conteúdo: classificação de pontos singulares regulares e irregulares. Para isso, precisamos escrever a equação na forma padrão
y''+p(x)y'+q(x)y=0,
identificar onde o coeficiente de y'' se anula (pontos singulares) e verificar se (x-x0)p(x) e (x-x0)^2q(x) são analíticas em cada x0.

Passo 2

Identificamos o coeficiente de y'':
2x(x-1)^2=0
que se anula em x=0 e x=1. Logo, estes são os únicos pontos singulares finitos.

Passo 3

Dividindo por 2x(x-1)^2 obtemos a forma padrão. Assim,
p(x)=5x2x(x-1)^2=52(x-1)^2
q(x)=x-12x(x-1)^2=12x(x-1)

Passo 4

Análise em x0=0:
(x-0)p(x)=xcdot52(x-1)^2. Como x=0 não zera o denominador (x-1)^2, isso é analítico em x=0.
(x-0)^2q(x)=x^2cdot12x(x-1)=x2(x-1), também analítico em x=0.
Como ambas as expressões são analíticas em x=0, conclui-se que x=0 é ponto singular regular.

Passo 5

Análise em x0=1:
(x-1)p(x)=(x-1)cdot52(x-1)^2=52(x-1), que tem polo em x=1 e não é analítico ali.
– Apesar de (x-1)^2q(x)=(x-1)^2cdot12x(x-1)=x-12x ser analítico em x=1, um dos dois requisitos falha.
Portanto, x=1 é ponto singular irregular.

Resposta

x=0 é ponto singular regular.
x=1 é ponto singular irregular.

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