O método esboçado no Problema 25 pode ser usado em qualquer equação homogênea. Ou seja, a substituiçāo y=x v(x) transforma uma equação homogênea em uma equaçāo separável. Esta última equação pode ser resolvida por integração direta, e depois a substituição de v por y / x fornece a solução da equação original. Nos Problemas 26 a 31:
a. Mostre que a equação dada é homogênea.
b. Resolva a equação diferencial.
c. Desenhe um campo de direções e algumas curvas integrais. Elas são simétricas em relação à origem?
\frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}+3 y^{2}}{2 x y}

Passo 1

O enunciado pede para a equação
dydx=x^2+3y^22xy
ser tratada como homogênea, resolvida pela substituição y=xv(x) (que leva a uma equação separável) e depois voltarmos a y. Por fim, precisamos discutir o campo de direções e as curvas integrais, verificando simetria em relação à origem.

Passo 2

Para ver que a equação é homogênea, note que o membro direito
f(x,y)=x^2+3y^22xy
é razão de polinômios de mesmo grau ( 2) em x,y. Mais formalmente, para todo tneq0
f(tx,ty)=(tx)^2+3(ty)^22,(tx)(ty) =t^2(x^2+3y^2)t^2(2xy) =x^2+3y^22xy =f(x,y),
logo é homogênea de grau zero.

Passo 3

Fazemos a troca y = x,v(x). Então
dydx =ddxl(xvr) =v + xdvdx
Substituindo na equação original:
v + xdvdx =x^2+3(xv)^22x,(xv) =x^2+3x^2v^22x^2v =1+3v^22v
Rearranjando,
xdvdx =1+3v^22v-v =1+3v^2-2v^22v =1+v^22v

Passo 4

Agora a equação em v separa:
2v1+v^2,dv=dxx
Integramos ambos os lados:
integral 2v1+v^2,dv =integral dxx Longrightarrow lnl(1+v^2r)=lnlvert xrvert + C
Exponenciando e chamando K=e^C,
1+v^2=K,lvert xrvert
Voltando v=y/x e dispensando o valor absoluto (absorvendo sinal em K),
1+l(yxr)^2 =K,x Longrightarrow y^2+x^2=K,x^3,
que é a solução implícita geral.

Passo 5

O campo de direções vem de f(x,y)=(x^2+3y^2)/(2xy). Note que
f(-x,-y) =(-x)^2+3(-y)^22(-x)(-y) =x^2+3y^22xy =f(x,y),
logo as setas em (x,y) e em (-x,-y) têm mesma inclinação, mostrando simetria do campo em relação à origem.
As curvas integrais são dadas por
y^2+x^2=K,x^3
Para um K fixo esta curva não se reflete nela própria sob (x,y)mapsto(-x,-y), pois aí surge constante -K. Mas como para cada solução de parâmetro K existe outra de parâmetro -K, a família completa de soluções é simétrica em relação à origem.

Resposta

Solução geral (implícita):
y^2+x^2=K,x^3,
campo de direções e família de curvas integrais simétricos em relação à origem.

Exercícios relacionados