O método esboçado no Problema 25 pode ser usado em qualquer equação homogênea. Ou seja, a substituiçāo
transforma uma equação homogênea em uma equaçāo separável. Esta última equação pode ser resolvida por integração direta, e depois a substituição de
por
fornece a solução da equação original. Nos Problemas 26 a 31:
a. Mostre que a equação dada é homogênea.
b. Resolva a equação diferencial.
c. Desenhe um campo de direções e algumas curvas integrais. Elas são simétricas em relação à origem?
\frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}+3 y^{2}}{2 x y}
a. Mostre que a equação dada é homogênea.
b. Resolva a equação diferencial.
c. Desenhe um campo de direções e algumas curvas integrais. Elas são simétricas em relação à origem?
\frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}+3 y^{2}}{2 x y}
Passo 1
O enunciado pede para a equação
ser tratada como homogênea, resolvida pela substituição
(que leva a uma equação separável) e depois voltarmos a
. Por fim, precisamos discutir o campo de direções e as curvas integrais, verificando simetria em relação à origem.
Passo 2
Para ver que a equação é homogênea, note que o membro direito
é razão de polinômios de mesmo grau (
) em
. Mais formalmente, para todo
logo é homogênea de grau zero.
Passo 3
Fazemos a troca
. Então
Substituindo na equação original:
Rearranjando,
Passo 4
Agora a equação em
separa:
Integramos ambos os lados:
Exponenciando e chamando
,
Voltando
e dispensando o valor absoluto (absorvendo sinal em
),
que é a solução implícita geral.
Passo 5
O campo de direções vem de
. Note que
logo as setas em
e em
têm mesma inclinação, mostrando simetria do campo em relação à origem.
As curvas integrais são dadas por
Para um
fixo esta curva não se reflete nela própria sob
, pois aí surge constante
. Mas como para cada solução de parâmetro
existe outra de parâmetro
, a família completa de soluções é simétrica em relação à origem.
Resposta
Solução geral (implícita):
campo de direções e família de curvas integrais simétricos em relação à origem.