Exercicio 143. A propriedade arquimediana para os números reais pode ser enuncia Dado um número real positivo x>0, existe um natural n \in \mathbb{N} tal que n \geq x. Assum propriedade, mostre usando os axiomas de corpo ordenado discutidos em sala que:
(i) Para qualquer número positivo \epsilon>0, existe n grande para 0<\frac{1}{a}<\epsilon
(ii) Para quaisquer dois números 0<x<y, existe n grande para $n x \geq y.

Passo 1

O enunciado e os dados que temos (o que nos pediram e o que foi dado):
  • Foi dada a Propriedade Arquimediana: para todo número real positivo x>0 existe um natural n\in\mathbb{N} tal que n \geq x.
  • Pedem para provar duas afirmações usando os axiomas de corpo ordenado e a propriedade arquimediana:
    (i) Para qualquer \epsilon>0 existe n\in\mathbb{N} tal que 0<\dfrac{1}{n}<\epsilon.
    (ii) Para quaisquer 0<x<y existe n\in\mathbb{N} tal que n x \geq y.
  • Informações relevantes que podemos usar (axiomas de corpo ordenado que serão úteis): se a>0 e b>0 então ab>0; se c>0 e u<v então cu<cv (multiplicação por positivo preserva a desigualdade); se 0<a<b então ao “inverter” obtemos 0<\dfrac{1}{b}<\dfrac{1}{a} (essa última será demonstrada como lema).

Passo 2

Lema (monotonicidade do inverso para positivos). Vou provar que, para 0<a<b, vale 0<\dfrac{1}{b}<\dfrac{1}{a}.
Prova do lema passo a passo:
  • Como 0<a<b, temos a>0 e b>0. Pelo axioma de corpo ordenado, o produto ab é positivo, isto é ab>0.
  • Dividir uma desigualdade por um número positivo preserva o sentido. Começamos com a<b. Dividindo ambos os lados por ab>0 obtemos \frac{a}{ab} < \frac{b}{ab}.
  • Simplificando as frações (pois ab\neq0) dá \frac{1}{b} < \frac{1}{a}.
  • Como a>0 e b>0, segue também 0<\dfrac{1}{b} e 0<\dfrac{1}{a}. Portanto 0 < \frac{1}{b} < \frac{1}{a},
que é exatamente o que queríamos provar no lema.
Observação rápida e intuitiva: para números positivos, aumentar o denominador diminui a fração, e é isso que o argumento formal acima confirma usando multiplicação/divisão por positivos.

Passo 3

Prova de (i). Quero provar que para qualquer \epsilon>0 existe n\in\mathbb{N} tal que 0<\dfrac{1}{n}<\epsilon.
Passos:
  • Como \epsilon>0, considere o número real x=\dfrac{1}{\epsilon}. Note que x>0.
  • Aplicando a Propriedade Arquimediana a x, existe n\in\mathbb{N} com n\geq x=\dfrac{1}{\epsilon}.
  • Da desigualdade n\geq \dfrac{1}{\epsilon} segue \dfrac{1}{n}\leq \epsilon. Temos também \dfrac{1}{n}>0.
  • Se \dfrac{1}{n}<\epsilon já estamos feitos. Se ocorrer o caso limite \dfrac{1}{n}=\epsilon (isto é, n=\dfrac{1}{\epsilon} é natural), então considere m=n+1. Como m>n>0 e ambos são positivos, pelo lema do Passo 2 obtemos \frac{1}{m} < \frac{1}{n} = \epsilon.Além disso m\in\mathbb{N}. Logo nesse caso também existe natural (precisamente m) com \dfrac{1}{m}<\epsilon.
  • Conclusão: em todo caso existe N\in\mathbb{N} tal que 0<\dfrac{1}{N}<\epsilon. Isso prova (i).
Dica prática para a prova em prova de faculdade: uma escolha explícita possível é N=\left\lfloor\dfrac{1}{\epsilon}\right\rfloor+1. Esse N é natural e satisfaz \dfrac{1}{N}<\epsilon. (Aqui usei a propriedade arquimediana implícita na existência do piso; no argumento acima mostrei sem usar piso.)

Passo 4

Exemplo numérico ilustrativo para (i) (ajuda a fixar): se \epsilon=0,01 então \dfrac{1}{\epsilon}=100. A arquimediana garante um natural n\geq100; tomar n=100 \dfrac{1}{100}=0,01 (caso de igualdade) e tomar n=101 \dfrac{1}{101}<0,01. Assim aparece um natural com 1/n<\epsilon.

Passo 5

Prova de (ii). Quero provar que para quaisquer 0<x<y existe n\in\mathbb{N} tal que n x \geq y.
Passos:
  • Dado 0<x<y, o quociente \dfrac{y}{x} é bem definido e positivo, pois x>0 e y>0. Então \dfrac{y}{x}>0.
  • Aplique a Propriedade Arquimediana ao número x'=\dfrac{y}{x}. Existe n\in\mathbb{N} com n \geq \frac{y}{x}.
  • Como x>0, multiplicando a desigualdade anterior por x (multiplicação por positivo preserva desigualdades) obtemos n x \geq \frac{y}{x}\cdot x = y.
  • Portanto existe n\in\mathbb{N} tal que n x \geq y, que é exatamente o que queríamos provar.
Observação: aqui não precisamos ajustar para caso de igualdade — a reivindicação pede apenas \geq, então o n garantido pela arquimediana já serve. Uma forma prática é escolher n=\left\lceil \dfrac{y}{x}\right\rceil (o teto), que é natural e satisfaz n x \ge y.

Passo 6

Exemplo numérico ilustrativo para (ii): se x=0{,}3 e y=2, então \dfrac{y}{x}\approx 6{,}666. Pela arquimediana existe um natural n\ge 6{,}666; tomar n=7 7\cdot 0{,}3 = 2{,}1 \ge 2, portanto n x \ge y.

Resposta

(i) Para todo \epsilon>0 existe n\in\mathbb{N} tal que 0<\dfrac{1}{n}<\epsilon.
(ii) Para quaisquer 0<x<y existe n\in\mathbb{N} tal que n x \geq y.

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