Exercicio 143. A propriedade arquimediana para os números reais pode ser enuncia Dado um número real positivo
, existe um natural
tal que
. Assum propriedade, mostre usando os axiomas de corpo ordenado discutidos em sala que:
(i) Para qualquer número positivo
, existe
grande para
(ii) Para quaisquer dois números
, existe
grande para $n x \geq y.
(i) Para qualquer número positivo
(ii) Para quaisquer dois números
Passo 1
O enunciado e os dados que temos (o que nos pediram e o que foi dado):
- Foi dada a Propriedade Arquimediana: para todo número real positivo
existe um natural tal que . - Pedem para provar duas afirmações usando os axiomas de corpo ordenado e a propriedade arquimediana:
(i) Para qualquerexiste tal que .
(ii) Para quaisquerexiste tal que . - Informações relevantes que podemos usar (axiomas de corpo ordenado que serão úteis): se
e então ; se e então (multiplicação por positivo preserva a desigualdade); se então ao “inverter” obtemos (essa última será demonstrada como lema).
Passo 2
Lema (monotonicidade do inverso para positivos). Vou provar que, para
, vale
.
Prova do lema passo a passo:
- Como
, temos e . Pelo axioma de corpo ordenado, o produto é positivo, isto é . - Dividir uma desigualdade por um número positivo preserva o sentido. Começamos com
. Dividindo ambos os lados por obtemos - Simplificando as frações (pois
) dá - Como
e , segue também e . Portanto
que é exatamente o que queríamos provar no lema.
Observação rápida e intuitiva: para números positivos, aumentar o denominador diminui a fração, e é isso que o argumento formal acima confirma usando multiplicação/divisão por positivos.
Passo 3
Prova de (i). Quero provar que para qualquer
existe
tal que
.
Passos:
- Como
, considere o número real . Note que . - Aplicando a Propriedade Arquimediana a
, existe com . - Da desigualdade
segue . Temos também . - Se
já estamos feitos. Se ocorrer o caso limite (isto é, é natural), então considere . Como e ambos são positivos, pelo lema do Passo 2 obtemos Além disso . Logo nesse caso também existe natural (precisamente ) com . - Conclusão: em todo caso existe
tal que . Isso prova (i).
Dica prática para a prova em prova de faculdade: uma escolha explícita possível é
. Esse
é natural e satisfaz
. (Aqui usei a propriedade arquimediana implícita na existência do piso; no argumento acima mostrei sem usar piso.)
Passo 4
Exemplo numérico ilustrativo para (i) (ajuda a fixar): se
então
. A arquimediana garante um natural
; tomar
dá
(caso de igualdade) e tomar
dá
. Assim aparece um natural com
.
Passo 5
Prova de (ii). Quero provar que para quaisquer
existe
tal que
.
Passos:
- Dado
, o quociente é bem definido e positivo, pois e . Então . - Aplique a Propriedade Arquimediana ao número
. Existe com - Como
, multiplicando a desigualdade anterior por (multiplicação por positivo preserva desigualdades) obtemos - Portanto existe
tal que , que é exatamente o que queríamos provar.
Observação: aqui não precisamos ajustar para caso de igualdade — a reivindicação pede apenas
, então o
garantido pela arquimediana já serve. Uma forma prática é escolher
(o teto), que é natural e satisfaz
.
Passo 6
Exemplo numérico ilustrativo para (ii): se
e
, então
. Pela arquimediana existe um natural
; tomar
dá
, portanto
.
Resposta
(i) Para todo
existe
tal que
.
(ii) Para quaisquer
existe
tal que
.