Expresse a função na forma f \circ g \circ h.
H(x)=1-3^{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede: expressar a função H(x)=1-3^{x^{2}} na forma de uma composição de três funções, isto é, encontrar funções f, g e h tais que
H = f\circ g\circ h,
ou seja,
H(x)=f\bigl(g\bigl(h(x)\bigr)\bigr).
Informação dada: a expressão explícita H(x)=1-3^{x^{2}}. Pergunta: achar f, g, h.

Passo 2

O que significa escrever H=f\circ g\circ h? Vou explicar devagar e com jeitinho: a composição f\circ g\circ h significa aplicar primeiro h a x, depois aplicar g ao resultado h(x), e por fim aplicar f ao resultado g(h(x)). Em notação:
(f\circ g\circ h)(x)=f\bigl(g(h(x))\bigr).
A ideia prática para decompor uma expressão é “descascar” as operações de dentro para fora: olhar a expressão e identificar qual operação é interna (mais próxima de x), qual é a seguinte, e qual é a externa.

Passo 3

Olhemos a expressão \,1-3^{x^{2}}\,. A operação mais interna é o quadrado x^{2} (é o que acontece diretamente em x). Então faz sentido escolher
h(x)=x^{2}.
Explicação: h deve transformar x na quantidade que aparece dentro da próxima operação. Se fizermos h(x) temos já h(x)=x^{2}.

Passo 4

A operação seguinte, já aplicada ao resultado de x^{2}, é a potência de base 3: 3^{(\,\cdot\,)}. Então escolhemos g para fazer essa transformação:
g(u)=3^{u}.
Obs.: escrevi a variável interna como u para ficar claro que g recebe o número u e produz 3^{u}. Agora, avaliando g(h(x)) obtemos
g(h(x))=3^{\,h(x)}=3^{x^{2}}.

Passo 5

A operação externa final é subtrair esse resultado de 1, ou seja, fazer 1-(\cdot). Então escolhemos f para fazer isso:
f(v)=1-v.
Usando as escolhas, verificamos a composição completa:
f\bigl(g(h(x))\bigr)=f\bigl(3^{x^{2}}\bigr)=1-3^{x^{2}}=H(x).
Para conferir numericamente (um mini-exemplo): se x=2, então h(2)=4, g(4)=3^{4}=81 e f(81)=1-81=-80; isto é exatamente H(2)=-80.

Passo 6

Conclusão: uma decomposição natural e simples é h(x)=x^{2}, g(x)=3^{x}, f(x)=1-x. Observação pedagógica: a decomposição em camadas não é única (poderia renomear variáveis, ou agrupar operações de outra forma), mas escolher cada função para corresponder a uma operação “por camada” é a estratégia mais prática em provas. Vai dar tudo certo — ficou claro e pronto pra usar na hora da prova!

Resposta

f(x)=1-x
g(x)=3^{x}
h(x)=x^{2}

Exercícios relacionados